Геометрия

Простейшие геометрические фигуры и их свойства.

Точки и прямые

Отрезок и его длина

Луч. Угол. Измерение углов

Смежные и вертикальные углы

Перпендикулярне прямые

Аксиомы

Параллельные прямые. Скмма углов треугольника

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Свойства параллельных прямых

Сумма углов треугольника

Прямоугольный треугольник

Свойства прямоугольных треугольников

Определение: Через любые две точки можно провести прямую.

Основное совйство прямой: Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.

Теорема 1.1: Любые две персекающиеся прямые имеют только одну общую точку.

Определение: Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением.

Определение: Два луча , имеющие общее начало и лежащие на одной прямо, называют дополнительнми.

Определение: Угол, сторон которого являются дополнительными лучами, называют развёрнутым.

Определение: Два угла называют равными, если их можно совместить наложением.

Определение: Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла.

Определение: Угол, градусная мера которого меньше 90*, называют острым.

Определение: Угол, градусная мера которого равна 90*, называют прямым.

Определение: Угол, угол градусная мера которого больше 90, но меньше 180, называют тупым.

Определение: Угол, градусная мера которого равна 180*, называют развёрнутым.

001

109928530_a4a2ab609287b5aaf8d7f723f7aec7de_800

476f87e682f687d9e4608a4a4b9b9d07

img14

Определение: Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительнми лучами.

Теорема 4.1: Сумма смежных углов равна 180*.

Определение: Два угла, отличные от развёрнутого, назыают вертикальнми, если сторон одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.

Теорема 4.2: Вертикальные углы равны.

Определение: Две прямые назывпют перпендикулярными. если при их пересечении образовался прямой угол.

Определение: Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Теорема 5.1: Через каждую точку прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Определение: Аксиомы- это выражения, которые не нуждаюсться в докозательстве.

5 постулатов Евклида.

1 псотулат: Требуется, чтобы от каждой точки ко всяко друго точке можно было провести прямую линию.

2 постулат: И чтоб каждую прямую можно было неогрониченно продолжить.

3 постулат: И чтобы из любого центра можно было описать окружность любого радиуса.

4 постулат: И чтобы все прямые углы были равны.

5 постулат: И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма котроых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с тоц стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов.

Треугольники

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Определение: Периметром треугольника назвают сумму длин всех его сторон.

Определение: Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые.

Определение: Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой.

Определение: Треугольник называют тупоугольным, если один из его углов тупой.

Определение: Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Теорема 7.1: Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Определение: Две фигуры назыают равными, если их можно совместить наложением.

Определение: Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.

Определение: Отрезок соеденяющий вершину треугольника с серединой противолежащеё стороны, называют медианой треугольника.

Определение: Отрезок, биссектрисы угла треугольника с точкой противолежащей стороны, назвают биссектрисой треугольника.

Первый и второй признаки равенства треугольников

Первый признак расенства треугольников ( Теорема 8.1): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равен двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение: Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, назыают серединным перпендикуляром отрезка.

Теорема 8.2: Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудолена от концов этого отрезка.

Второй признак равенства треугольников (Теорема 8.3): Если сторона и два прилежащих к не угла одного треугольника соответственно равна стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение: Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Определение: Треугольник у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Теорема 9.1: В равнобедренном треугольники: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса треугольника, проведённого из угла при вершине, является медианой и высотой.

Из теоремы 9.1 следует, что: 1) в треугольнике против равнх сторон лежат равные углы; 2) в равнобедренном треугольнике бессиктриса, высота и медиана, проведённые из вершины, совпадают; 3) в равностороннем треугольнике все углы равны; 4) в равностороннем треугольние биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают.

Определение: Если в треугольнике длины всех сторон разлчины, то такой треугольник называют разносторонним.

Признаки равнобедренного треугольника

Третий признак равенства треугольников

Теоремы

Теорема 10.1: Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Теорема 10.2: Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Теорема 10.3: Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Теорема 10.4: Если медиана треугольника являеться его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Третий признак равенства треугольников ( Теорема 11.1): Если три стороны одного треугольника соответственно равны 3-ём сторонам другого трегольника, то такие треугольники равны.

Теорема 11.2: Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Виды теорем: Теорема-следствие или следствие; взаимно обратной; теорема от противного; приём дополнительного построения.

Определение: Теорема следствие эта теорема которые следуют непосредственно из аксиом или теорем.

Опреление: Взаимо обратные теоремы это теорем в которых меняют условие и заключение.

Определение :: Теорема от противного это теорема, с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил теореме.

Определение: Приём дополнительного построения это приём, с помощю которого мы дополнили или достроили рисунок и решили задачу.

Определение: Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 13.1 (признак паралленльности прямых): Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Следствие: Через данную точку М, не прилежающую прямой a, можно провести прямую b.

Основное свойств параллельных прямых (аксиома параллельности прямых): Через точку, не лежащую на данно прямой, проходит только одна прямая, параллельна данной.

Теорема 13.2: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема 14.1: Если накртст лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны то прямые параллельны.

Теорема 14.2: Если сумма односторонних угло, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180*, то прямые араллельны.

Теорема 14.3: Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей равны, то прямые параллельны.

Теорема 15.1: Если две прямые пересечен секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

Теорема 15.2: Если две параллельные прямые персечены секущей, то углы, образующие пару соответсвтенных углов, равны.

Теорема 15.3: Если две параллельные прямые персечены секущей, то сумма углов, образующихс пару односторонних углов, равна 180*.

Следствие: Если прямая перпендикулярна одно из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Определение: Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от лбой точки одной из прямых до другой прямой.

Теорема 16.1: Сумма углов треугольника равноа 180*.

Следствие: Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Определение: Внешним углом теругольника назыают угол, смежный с углом этого треугольника.

Теорема 16.2: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

Теорема 16.3: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Следствие: Внешний угол треугольника больше каждого из уголв треугольника, не смежных с ним.

Теорема 16.4: Против большего угла лежит большая сторона и наоборот, против дольшей стороны лежи больши угол.

Теорема 17.1 (Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету): Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равен гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам: Если катеты одного прмоугольного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу: Если катет и прилежащий острый угол одного прмоугольного треугольника соответственно равныкатету и прилежащему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолеащему острому углу: Если катет и противолежащий отсрый угол одного прмоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащиму острому углу другого, то такие треугольники равн.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прмоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямогольно треугольника, то такие треугольники равны.

Теорма 18.1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие: Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.