從而函數f的導數是 {\displaystyle f'} f'，讀作「f一撇（f prime）」

如果 {\displaystyle f(x)=x^{2}} f(x)=x^{2}是平方函數，那麼它的導數 {\displaystyle f'(x)=2x} f'(x)=2x是倍增函數

導數的最常見的符號是一個類似撇號的符號，叫作「撇（prime）」

如果函數的輸入量代表時間，那麼導數就代表關於時間的變化

微分能把平方函數作為輸入，這意味著微分利用平方函數的所有信息去產生另一個函數

如果f是輸入時間，輸出那個時間的球的位置的函數，則f的導數就是位置隨著時間怎樣變化，這就是球的速度

如果在倍增函數中輸入3，則輸出6，和如果在平方函數中輸入3，則輸出9

那麼這個函數可以寫成y=mx+b，x是自變量，y是因變量，b是y的縱截距

這比許多初等代數裡所學的過程更為抽象，初等代數裡的函數常常是輸入一個數，並輸出另一個數

即使微積分理論是用極限的概念，而不是用無窮小的概念發展成的，人們還是常常把這類記號當作實數來操作

儘管可以避免這樣的操作，但是有時候它們在符號上可以方便地表達全導數這類操作

在這個用法中，分母中的 {\displaystyle \mathrm {d} x} \mathrm{d}x讀作「關於x」

我們也可以把看作一個微分算子，它以一個函數為輸入，以這個函數的導函數作為輸出

然而，萊布尼茨打算將它表示成兩個無窮小數的商，的一個無窮小變化量引起了一個無窮小的變化量

在以極限為基礎的理論里，記號並不理解成兩個數的商，而是上面計算的極限的簡記

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

其中的一個方式是將行徑路程根據時間近似地劃分成許多小部分，將每個間距中的時間乘以當時的速度

對定積分的技術定義是各個矩形之面積和的極限，又稱黎曼積分

當中的基本想法是，如果時長間隔很短，那麼速度會近似不變

定積分輸入公式，輸出數字，即給出圖像與橫坐標之間各個面積的代數和

當 {\displaystyle f} f是 {\displaystyle F} F的導數時， {\displaystyle F} F是 {\displaystyle f} f的不定積分

如果左圖中的代表根據時間而改變的速度，那麼時間點與時間點之間的路程就可以用陰影區域來表達

要求得區域面積的近似值，直觀的辦法就是將兩點之間的路程分割為等長線段，每個線段的長度用符號來標記

從技術上來講，積分學是研究對這兩個相關的線性算子的研究

如此，以x為底、h為高的矩形面積x乘以速度，就是通過該線段的路程

我們也可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等

所有矩形的總和就是數軸與曲線之間面積的近似值，即總行徑路程的近似值

和每個線段相關聯的是線段上方程的平均值 {\displaystyle f(x)=h} f(x)=h

{\displaystyle \Delta x} \Delta x的值越小，矩形數量就越多，近似值也就越精確

對於每個小線段，我們在方程上找到對應值 {\displaystyle f(x)} f(x)，記為 {\displaystyle h} h