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微積分 (極限和無窮小 (微積分中最重要的概念是「極限」, 微商（即導數）是一種極限, 定積分也是一種極限, 現在使用的定義是魏爾斯特拉斯於19世紀…
微積分
極限和無窮小
微積分中最重要的概念是「極限」
微商（即導數）是一種極限
定積分也是一種極限
現在使用的定義是魏爾斯特拉斯於19世紀中葉給出的
數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數（非無限大的數），使這個數列可以無限地接近這個數，這個數就是這個數列的極限
\lim_{n \to \infty}x_n = L
其中 {\displaystyle L} L就是極限的值
微積分通常是透過對很小的數的處理
一開始是用無窮小量來做
無窮小量可以被看作是一個數
任何整數倍數的無窮小還是無窮小
換句話說，無窮小不滿足阿基米德性質
微積分是一組處理無窮小的技巧
極限描述的是與函數在某一點附近的值有關的值
在這種做法下，微積分是一組處理極限的技巧
函數無窮小附近的行為是通過取距離越來越小時的極限來找到的
微積分主要有三大類分支
微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算
在微分和積分之間可以互相轉換
極限、微分學、積分學
微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等
該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連
微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域
運算方法主要有符號運算技巧
微積分的現代版本是實分析
積分學
但如果速度為變量，那麼就不得不使用更強大的公式
其中的一個方式是將行徑路程根據時間近似地劃分成許多小部分，將每個間距中的時間乘以當時的速度
如果速度是一定的，那麼上述參數簡單相乘即可得出結果
最後將每個間距所行徑的近似路程累計為黎曼和
對定積分的技術定義是各個矩形之面積和的極限，又稱黎曼積分
當中的基本想法是，如果時長間隔很短，那麼速度會近似不變
路程 = 速度 × 時間
然而，黎曼和只給出行徑路程的近似值
定積分輸入公式，輸出數字，即給出圖像與橫坐標之間各個面積的代數和
我們必須對所有可能的黎曼和取極限，來得出精確的值
當 {\displaystyle f} f是 {\displaystyle F} F的導數時， {\displaystyle F} F是 {\displaystyle f} f的不定積分
如果左圖中的代表根據時間而改變的速度，那麼時間點與時間點之間的路程就可以用陰影區域來表達
不定積分是導數的逆運算，即反導數
要求得區域面積的近似值，直觀的辦法就是將兩點之間的路程分割為等長線段，每個線段的長度用符號來標記
從技術上來講，積分學是研究對這兩個相關的線性算子的研究
如此，以x為底、h為高的矩形面積x乘以速度，就是通過該線段的路程
我們也可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等
所有矩形的總和就是數軸與曲線之間面積的近似值，即總行徑路程的近似值
即等於函數曲線下包含的實際面積
和每個線段相關聯的是線段上方程的平均值 {\displaystyle f(x)=h} f(x)=h
一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和
{\displaystyle \Delta x} \Delta x的值越小，矩形數量就越多，近似值也就越精確
又分為定積分與不定積分
對於每個小線段，我們在方程上找到對應值 {\displaystyle f(x)} f(x)，記為 {\displaystyle h} h
積分是微分的逆運算，即從導數推算出原函數
導數
一個函數的自變量趨近某一極限時，其平均變化率的極限即為導數
速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化
函數在某點處的平均變化率是指函數在該點處的因變量的增量和自變量的增量的比值
當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數
而引入導數概念前，一般會先引入函數的平均變化率的概念
導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率
這時的速度為時間的導數，得用求導的方法計算
但是當這一小段間隔的時間趨於零，也就是瞬時速度時，則無法按照通常的除法計算
在一小段間隔的時間內，除上其位移，等於這一小段時間內的速度
平均速度等於位移除以所花費的時間
微分學
費馬常被稱作「微分學的鼻祖」
微分學研究的是一個函數的導數的定義，性質和應用
主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率
求出導數的過程被稱為求導
微分學的另一個計算方法是牛頓法，該算法又叫應用幾何法
給定一個函數和定義域內的一個點，在那個點的導數描述了該函數在那一點附近的表現
換言之，計算導數的方法就叫微分學
通過找出一個函數定義域內每一點的導數，可以生成一個新的函數，叫做原函數的導函數，或者導數
微分學主要研究的是在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率
以數學術語說，導數是輸入一個函數，輸出另一個函數的線性算子
微分學
從而函數f的導數是 {\displaystyle f'} f'，讀作「f一撇（f prime）」
如果 {\displaystyle f(x)=x^{2}} f(x)=x^{2}是平方函數，那麼它的導數 {\displaystyle f'(x)=2x} f'(x)=2x是倍增函數
導數的最常見的符號是一個類似撇號的符號，叫作「撇（prime）」
如果函數的輸入量代表時間，那麼導數就代表關於時間的變化
微分能把平方函數作為輸入，這意味著微分利用平方函數的所有信息去產生另一個函數
如果f是輸入時間，輸出那個時間的球的位置的函數，則f的導數就是位置隨著時間怎樣變化，這就是球的速度
如果在倍增函數中輸入3，則輸出6，和如果在平方函數中輸入3，則輸出9
那麼這個函數可以寫成y=mx+b，x是自變量，y是因變量，b是y的縱截距
這比許多初等代數裡所學的過程更為抽象，初等代數裡的函數常常是輸入一個數，並輸出另一個數
m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.
萊布尼茨記號
即使微積分理論是用極限的概念，而不是用無窮小的概念發展成的，人們還是常常把這類記號當作實數來操作
儘管可以避免這樣的操作，但是有時候它們在符號上可以方便地表達全導數這類操作
在這個用法中，分母中的 {\displaystyle \mathrm {d} x} \mathrm{d}x讀作「關於x」
我們也可以把看作一個微分算子，它以一個函數為輸入，以這個函數的導函數作為輸出
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}
然而，萊布尼茨打算將它表示成兩個無窮小數的商，的一個無窮小變化量引起了一個無窮小的變化量
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)=2x.
在以極限為基礎的理論里，記號並不理解成兩個數的商，而是上面計算的極限的簡記
一個由萊布尼茨引進的常用導數記號，以上面為例
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
電子二忠24號陳伯翰