( \mathbb{K}[X] )

$\mathbb{K}[X]$

cas de $X^n-1$

Définitions

polynôme = suite de coef, nulle à partir d'un certain rang

notation $ \sum_0^d a_kX^k $ ou $ \sum_0^{+\infty} a_kX^k $

opérations $ +,\times,\cdot,\circ $ structure d'anneau et d'EV

degré, coef dominant, polynôme unitaire

degré d'une somme, d'un produit

dérivation

Formule de Leibnitz

Formule de Taylor

propriétés

Arithmétique

Pgcd, Ppcm
(non-unique car constante multiplicative insignifiante)

théorème de la division euclidienne, quotient, reste

divisibilités, multiples et diviseurs

Polynômes premiers entre-eux

Théorème de Bézout

Lemme de Gauss

Polynômes irréductibles

Fonctions polynomiales

racines, zéros, lien avec « $ (X-\alpha) $ divise $P$ »

multiplicité : définition et caractérisation

polynômes scindés

relations entre coefficients et racines

Interpolation Lagrangienne
(fonction polynomiale passant par n points donnés)

existence et unicité d'une solution de degré <n

structure des solutions de degré quelconque

Théorème de D'Alembert-Gauss

Théorème de décomposition en facteurs irréductibles

définition

irréductibles de $ \mathbb{C}[X] $

irréductibles de $ \mathbb{R}[X] $

cas de $X^n-1$

Fractions rationnelles : $\mathbb{K}(X)$

zéros, pôles, multiplicités

opérations et structure de corps

fonction rationnelle

fractions irréductibles

Décomposition en éléments simples

existence et unicité de la décomposition

degré de la partie entière

cas de $\mathbb{C}$, de $\mathbb{R}$

coefficient de $\frac1{X-\alpha}$

cas de $\frac P{P'}$