[\Sigma{ZZ}=\mathbf{A}\Sigma{YY}\mathbf{A}^{T}]

$\Sigma_{ZZ}=\mathbf{A}\Sigma_{YY}\mathbf{A}^{T}$

\[\Sigma_{ZZ}=\mathbf{A}\Sigma_{YY}\mathbf{A}^{T}\]

📜

om Y:s kovariansmatris är $\Sigma_{YY}$
och Z:s kovariansmatris är $\Sigma_{ZZ}$

Bevis

Konstanten c påverkar ej kovariansen.\[\textrm{Cov}(Z_{i},\,Z_{j})=\textrm{Cov}\left(\sum_{k=1}^{n}a_{ik}Y_{k},\,\sum_{l=1}^{n}a_{jl}Y_{l}\right)\]\[=\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}a_{ik}a_{jl}\textrm{Cov}(Y_{k},\,Y_{l})\]\[=\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}a_{ik}\sigma_{kl}a_{jl}\]vilket är det ij:te elementet av den önskade matrisen

(från sats A) om $\mathbf{Z}=\mathbf{c}+\mathbf{AY}$, där Y är en slumpvektor och A är en fixed matris och c är en fixed vektor