第一章 式的運算
1-1多項式的四則運算
1.項：anxn,an-1xn-1，…,a1x,a0分別稱為此多項式的n次項,n-1次項,…一次項,常數項。
2.係數：an,an-1,…,a1,a0分別為此多項式的n次項,n-1次項,…一次項,常數項的係數。
3.領導係數：多項式中最高次項之係數(不為0)稱為此多項式之領導係數。
4.次數：當an¹0時，稱此多項式為n次多項式，記為f(x)=n。
5.單項式：只有一項的多項式稱為單項式。
6.常數多項式：若一多項式僅含常數項a0，則稱此多項式為常數多項式。當a0¹0，又稱 為零次多項式。當a0=0，又稱為零多項式。
7.升羃與降羃式：若一多項式一變數x的次方由大而小排列者稱為降羃式，由小而大 排列者稱為升羃式。
多項式的相等：
兩個多項式f(x)與g(x)為兩個非零多項式若f(x)與g(x)相等Û兩者的次數相同，對應項的係數也一樣。
多項式的運算
(1)多項式的加減法：兩多項式相加減，則同次項的係數相加減。
(2)多項式的乘法：利用乘法對加法的分配律，再合併同類項。
(3)多項式的除法：
設f(x)，g(x)為二多項式且g(x)不是零多項式，則可找到二多項式q(x)及r(x)滿足f(x)=q(x)×g(x)+r(x)，其中r(x)=0或 r(x)< g(x)。
此時稱f(x)為被除式，g(x)為除式，q(x)為商式，r(x)為餘式。
(4)綜合除法：當除式g(x)=x-a時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。
乘法公式
分配律： (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
和平方： (a+b)平方=a平方+2ab+b平方
三數和平方：(a+b+c)平方=a平方+b平方+c平方+2ab+2bc+2ca
差平方：(a-b)平方=a平方-2ab+b平方
三數差平方：(a-b-c)平方=a平方+b平方+c平方-2ab-2ac+2cb
平方差：(a-b)平方=(a+b)(a-b)
和立方：(a+b)3次方=a3次方+3a平方b+3ab平方+b3次方
差立方：(a-b)3次方=a3次方-3a平方b+3ab平方-b3次方
立方和：a3次方+b3次方=(a+b)(a平方-ab+b平方)
立方差：a3次方-b3次方=(a-b)(a平方+ab+b平方)
等冪求和：a3次方+b3次方+c3次方-3abc=(a+b+c)(a平方+b平方+c平方-ab-bc-ca)
等冪和差：a4次方+a平方b平方+b4次方=(a平方+ab+b平方)(a平方-ab+b平方)
平方和、平方差延伸:a平方+b平方=(a+b)平方-2ab=(a-b)平方+2ab
多項式平方:(a平方+b平方+c平方+d平方)=a+b+c+d+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
餘式定理與因式定理
餘式定理
除法原理：f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，r(x)<g(x)或r(x)=0
餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。
f(a)的雙重意義：
多項函數f(x)在x=a的函數值。
多項式f(x)除以x-a的餘式。
因式定理
(1)因式定理：設f(x)為一多項式，則 x-a 為f(x) 的因式 Û f(a)=0 。
(2)一次因式檢驗定理：
設f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)×g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x×5x2來的，21是3×7來的，因此觀察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，這個結果對於一般整係數的多項式也是成立，我們將它寫成下面的定理：
定理：設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0為一個整係數n次多項式，若整係數一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互質，則a|an且b|a0。
多項方程式
(1)由n次多項式到n次方程式
f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 是n次多項式，方程式f(x)=0稱為n次(多項)方程式。
(2)方程式的根：
一個數x0若滿足f(x0)=0，就稱x0為方程式f(x)=0的根或解。有時特別強調x0為複數、實數、有理數或整數，x0又稱為複數根、實根、有理根或整數根。
分式與根式的運算
(1)真分式:分子次數小於分母的次數
(2)假分式:分子次數不小於分母的次數
(3)帶分式:假分式經由多項式的除法可寫成多項式與真分式的和，稱為帶分式。
將一個真分式表為若干個真分式的和，稱為分解此為部分分式，且分解後的真分式每一個皆為最簡分式。
一年乙班4號江帛軒