Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
5: Linje och ytintegraler (Föreläsning 13 (Exempel på vektorfält…
5: Linje och ytintegraler
Föreläsning 13
Vektorfält
Ett vektorfält är en funktion F definierad i nån delmängd av R 3 med funktionsvärden i R 3 . Motsvarande i R 2 kallas plana vektorfält.
Tolkningen är: I varje punkt (x, y, z) sitter en vektor F(x, y, z)
Exempel på vektorfält
Gravitationsfält och elektrostatiska fält
Magnetfält
Hastighetsfält, gradientfält
Ofta antar vi att de är minst C1
Fältlinjer
En kurva till vilken vektorfältet är tangentiellt i varje punkt kallas en fältlinje (alt. strömlinje, flödeslinje, trajektoria, integralkurva). Om F(x, y) = (P, Q) är ett plant vektorfält fås fältlinjerna som lösningar till dx P = dy Q
Konservativt vektorfält
Om det finns en funktion ϕ sådan att ∇ϕ = F så sägs vektorfältet F vara konservativt. Funktionen φ kallas i så fall för en potentialfunktion till F.
Krav
I R2: Om inte ∂P ∂y = ∂Q ∂x så kan vektorfältet inte vara konservativt.
I R3: Om inte ∂P ∂y = ∂Q ∂x , ∂P ∂z = ∂R ∂x , ∂Q ∂z = ∂R ∂y så kan vektorfältet inte vara konservativt
Ekvipotentialkurvor och ekvipotentialytor
Nivåytor till potentialfunktionen kallas ekvipotentialytor till vektorfältet. För plana vektorfält är motsvarigheten ekvipotentialkurvor.
Föreläsning 14
Kurvintegraler / linjeintegraler
Definition i föreläsningarna
Kan beräknas genom att sätta in en parametrisering av kurvan i funktionen som integreras.
Kurvintegraler av vektorfält
Om F = (P, Q) är ett kontinuerligt plant vektorfält och γ en orinterad slät kurva så ges kurvintegralen av den tangentiella komponenten av F längs γ av integralen
Kan även den beräknas genom parametrisering men genom en lite annorlunda process från vanliga kurvintegraler
Kurvintegraler av konservativa vektorfält
Om F är ett konservativt vektorfält med potentialfunktion ϕ och γ är en orinterad slät kurva som startar i (x0, y0) och slutar i (x1, y1) så gäller att integralen är potentialen i slutet minus potentialen i början av kurvan.
Satser
Om F = (P, Q) är ett glatt plant vektorfält på en öppen enkelt sammanhängande mängd D, så är följande påståenden ekvivalenta:
F är konservativt i D
Kurvintegralen är noll för alla styckvis släta kurvor i D
Alla kurvintegraler av F är oberoende av vägen i D
∂Q ∂x = ∂P ∂y i D
Om F = (P, Q, R) är ett glatt vektorfält på en öppen enkelt sammanhängande mängd D, så är följande påståenden ekvivalenta:
F är konservativt i D
Kurvintegralen är noll för alla styckvis släta kurvor i D
Alla kurvintegraler av F är oberoende av vägen i D
∂R ∂y = ∂Q ∂z , ∂P ∂z = ∂R ∂x , ∂Q ∂x = ∂P ∂y i D
Föreläsning 15
Parameterytor i R3
En parameteryta är värdemängden till en kontinuerlig funktion r definierad på något lämpligt område D i R 2 med värden i R 3 . Typ: r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D.
Oftast är D en rektangel. Om r är ett-till-ett så skär inte ytan sig
själv. Bilden av randen av D kallas då randen av parameterytan.
En yta sägs vara glatt om den har ett unikt tangentplan i varje punkt (utom längs randen). En normalvektor till detta tangentplan sägs vara en normalvektor till ytan.
Parameterytor exempel
En funktionsyta z = f(x, y), då (x, y) ∈ D, kan ses som en parameteryta r(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ D
Enhetssfären x 2 + y 2 + z 2 = 1 kan parametriseras genom r(φ, θ) = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ) där 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ < 2π
Ytintegraler
Ytmått
På en yta Y parametriserad genom r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D. är n = r 0 u × r 0 v en normalvektor och ytelementet dS ges av dS = |r 0 u × r 0 v | dudv
Se hela i föreläsningen
Orienterade ytor
På en yta Y parametriserad genom r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D. med n = r 0 u × r 0 v som normalvektor, säger vi att den sida av ytan åt vilken denna normalvektor pekar är den positiva sidan.
En orientering av ytan inducerar en orientering på dess randkurvor: en sådan sägs vara positivt orienterad om ytan är till vänster om kurvan när vi är på den positiva sidan av ytan och går längs kurvan
Flödet av ett vektorfält genom en yta
Flödet av ett kontinuerligt vektorfält F genom en orienterad yta Y är integralen av den positiva normalkomponenten av vektorfältet över Y
Beräkning: se slides
En vanlig tillämpning
Om vektorfältet F är hastighetsfältet för en tidsoberoende strömning, så kan flödesintegralen tolkas som den volym av det strömmande mediet som per tidsenhet passerar genom ytan Y.