3: Tillämpningar av derivator

Föreläsning 7

Implicita funktioner

Begrepp

Implicit

Explicit

I flervariabel

Ekvationer med flera variabler

Ekvationssystem med flera variabler

Metod

Anta att x är en funktion av y

X är en funktion av y om det går att derivera implicit

Föreläsning 8

Taylorpolynom i flera variabler

Bygg på formeln för tangentplan med andraderivator

Taylorpolynom av grad n har samma funktionsvärde och samma värde på derivatorna upp till ordning n som funktionen har i punkten

Taylorpolynomet approximerar funktionen i närliggande punkter

Formel för restterm

Villkor för formeln är att funktionen är C k+1 i någon öppen mängd som innehållet linjestycket från a till x

Extrempunkter och extremvärden

Definition. Om f(a) ≥ f(x) för alla x i definitionsmängden sägs a vara en global maxpunkt för f. Värdet f(a) sägs då vara funktionens största värde. Om olikheten bara gäller för alla x i någon omgivning till a så sägs a vara en lokal maxpunkt.

Definition. Om f(a) ≤ f(x) för alla x i definitionsmängden sägs a vara en global minpunkt för f. Värdet f(a) sägs då vara funktionens minsta värde. Om olikheten bara gäller för alla x i någon omgivning till a så sägs a vara en lokal minpunkt.

Samlingsnamnet för maxpunkter och minpunkter är extrempunkter. Motsvarande funktionsvärden kallas extremvärden.

Obs att detta bara är relevant för reellvärda funktioner

Finns alltid största och minsta värde?

Nej. Existensen av max och min kan aldrig förutsättas utan kräver alltid argument.

Ett fall är enkelt: Om f är kontinuerlig på en kompakt mängd (dvs en mängd som är sluten och begränsad) så vet man att största och minsta värde finns.

Annars kan vad som helst hända och man får argumentera
olika i olika fall.

Kritiska och singulära punkter

Definition. Om ∇f(a) = 0 så sägs a vara en kritisk punkt för f. Obs att detta betyder att alla partiella derivator är noll i punkten.

Definition. Om ∇f(a) saknas så sägs a vara en singulär punkt för f. Obs att detta betyder att f inte är partiellt deriverbar (med avseende på alla variabler) i punkten

Viktigt faktum

Extremvärden om de finns kan antas i

Kritiska punkter

Singulära punkter

Randpunkter

För att visa med hjälp av derivata att en punkt a är en lokal extrempunkt kan man Taylorutveckla f till grad 2 kring a. Då ska två saker gälla:

  1. ∇f(a) = 0. Dvs alla första ordningens partiella derivator ska vara 0.
  1. Andragradstermen ska dessutom vara positivt definit (för min) eller negativt definit (för max). Se SF1624, kvadratiska former.

Föreläsning 9

Optimering med bivilkor

Finn största eller minsta värde av f(x, y) när (x, y) uppfyller bivillkoret g(x, y) = 0

Lagranges multiplikatormetod

Vi vill optimera f(x, y) under bivillkoret g(x, y) = 0, där f och g är C 1 . Om optimum antas i en punkt (a, b), som inte är en ändpunkt på kurvan och ∇g(a, b) 6= 0 så finns ett tal λ0 så att (a, b, λ0) är en kritisk punkt till Lagrange-funktionen L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y).

OBS 1: Detta betyder att ∇f(a, b) och ∇g(a, b) är parallella.

OBS 2: Argument behövs fortfarande för existens av max/min.

OBS 3: Kolla separat ändpunkter och punkter där ∇g = 0

Lagranges multiplikatormetod med flera bivilkor

För att optimera f(x, y, z) under bivillkoren g(x, y, z) = 0 och h(x, y, z) = 0 ska vi på liknande sätt söka kritiska punkter till Lagrange-funktionen L(x, y, z, λ, µ) = f(x, y, z) + λg(x, y, z) + µh(x, y, z). Vissa villkor ska vara uppfyllda, se boken sid 763-764 för teorin bakom detta. Vi illustrerar med ett exempel.