Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
1 :3-dimensionel geometri i flera variabler (Föreläsning 3 (Värdemängd och…
1 :3-dimensionel geometri i flera variabler
Föreläsning 1
Flervariabelanalys
En fortsättning på Envariabelanalys och utvidgar studiet till funktioner av flera variabler och vektorvärda funktioner
Vi ska lära oss att derivera och integrera sådana funktioner och använda resultaten i tillämpningar. Förutom metoder från Envariabelanalys behöver vi också många redskap från linjär algebra
Saker man inte ska missa
Sfäriska koordinater (Kap 10.6)
Cylindriska koordinater (Kap 10.6)
Polära koordinater (Kap 8.5)
Linjer och plan (Kap 10.4)
Ellipser, Hyperbler och Parabler (Kap P3 och 8.1)
Parameterkurvor (Kap 8.2)
Ellipsoider, Hyperboloider, Paraboloider, Cylindrar (kap 10.5)
Komma igång
Flervariabelanalys är studien av funktioner från Rn till Rm
För sådana funktioner ska vi studera gränsvärden, kontinuitet, derivata, integral mm
Euklidiska rummet Rn
Standardbasen, i, j, k, koordinater
Norm/Längd/Absolutbelopp
Avstånd
Skalärprodukt
Ortogonalitet
Kryssprodukt
Linjer och plan
Topologiska begrepp
a sägs vara en inre punkt till en mängd M om a har en omgivning som ligger helt i M
En punkt a sägs vara en yttre punkt till en mängd M om a har en omgivning som ligger helt utanför M
En punkt a sägs vara en randpunkt till M om varje omgivning till a både innehåller punkter som ligger i M och punkter utanför M
En mängd sägs vara öppen om varje punkt a tillför M har en omgivning som ligger helt i M
En mängd M sägs vara sluten om dess komplement är en öppen mängd
Föreläsning 2
Vektorvärda funktioner av en reell variabel
Definition av kontinuitet i flera variabler
Derivatans definition för vektorvärda funktioner
Deriveringsregler
Produktregeln
Kvotregeln
Kedjeregeln
Längden på kurva
Integralen av beloppet på kurvans derivata
Föreläsning 3
Värdemängd och Definitionsmängd
Definition
Konvention
Om inget annat anges angående definitionsmängden antar man alltid att den är den största mängden Rn för vilket funktionsvärdet är ett väldefinierat reellt tal.
Funktionsgrafer
Definition
Nivåkurvor
Består av alla punkter (x,y) i definitionsmängden till f som uppfyller en ekvation f(x,y) = c
OBS
Samma kurva kan beskrivas på flera olika sätt: som nivåkurva, funktionskurva, parameterkurva...
Gränsvärden
Formell definition
De vanliga räknereglerna för gränsvärden
Kontinuitet
Definition
Kontinuitet bevaras av de fyra räknesätten och sammansättning. Elementära uttryck är kontinuerliga överallt där de är definierade.