Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
2: Partiella derivator och linjär approximation (Föreläsning 5…
2: Partiella derivator och linjär approximation
Föreläsning 4
Kom ihåg
Vi har precisa matematiska definitioner av begreppen gränsvärde och kontinuitet
Funktioner som ges av elementära uttryck är kontinuerliga överallt där de är definierade, dvs om f är en sådan funktion och a tillför definitionsmängden så är lim x->a f(x) = f(a)
Definition av partiella derivator
Dvs man deriverar map på en variabel i taget och betraktar övriga som konstanter
Tangentplan
Ges av funktionsvärdet av avståndsjusterade derivator av första graden
Högre ordningens derivator
Derivera derivatorna partiellt en gång till
De blandade derivatorna är kontinuerliga ifall de är lika
Föreläsning 5
Tangentplan och linjär approximation
Tangentplan kan användas för linjär approximation kring en punkt på en funktionsyta.
Differentierbarhet
Formell definition
Tolkning
Att f är differentierbar betyder att funktionsytan har ett tangentplan och man kan linjärisera f med tillräckligt litet fel
Faktum: Om f är C1, vilket betyder att de partiella derivatorna existerar och är kontinuerliga, i en omgivning av (a,b), så är f också differentierbar
Om f är differentierbar i en punkt så är f kontinuerlig i punkten
Allmän definition
Baserad på linjär avbildning
Kedjeregeln i flera variabler
Några viktiga differentialekvationer
Laplace
Våg
Värme
Jacobimatris
Innehåller alla derivator och är den linjära avbildningsmatrisen kring en punkt på ytan
Föreläsning 6
Gradienten
En vektor med partiella derivator som komponenter
Riktningsderivata
Formell definition
Du kan projicera gradienten på en riktningsvektor för att få ut riktningsderivatan
Gradientens geometriska egenskaper
Om gradienten inte är lika med noll är den ortogonal mot nivåkurvor till funktionen som skär genom punkten
Gradienten visar riktningen för maximal ökningstakt och beloppet ger maximala ökningstakten
Funktionen minskar snabbast i riktningen som ges av negativa gradienten och med hastigheten av gradientens belopp
Förändringstakten för funktionen i en punkt är noll i riktningar tangentiella till nivåkurvorna