微積分 電機二仁05吳宗頷

積分

極限的概念

函數

函數的定義域

函數的值域

函數的自變數所在的集合

由自變數對應出來的所有含數值所組成的集合

區間

閉區間

開區間

半開區間<或半閉區間>

合成函數

若g<x>的所有函數直皆在f<x>的定義域內，則f<g<x>>稱為合成函數

函數的極限

在數學中，函數極限是微積分學和數學分析的一個基本概念。 它描述函數值在接近某一給定的自變量時的特徵。 不嚴格地講，函數 對於每個給定的在定義域內自變量，都會有一個對應的自變量

極限值

唸做“當x趨近於a時，f (x)之極限為L”，意即“只要x夠靠近a，但，f (x)可任意地接近L”

左極限定義

A:不存在，Therefore 極限不存在(The limit does't exist) |x. |/x:x=1 as x>0 因為分母為0 沒有定義,-1 as x<0 Def: lim(x→2+)f(x)=? ... 如果極限存在⇔右極限存在，左極限存在，且相等

右極限定義

極限從研究一個問題(函數)開始. We begin to study the limit by looking at some function f(x)=x2. Question:What happens to f(x) when x get to close 2 ? 口語：當x 靠近2 的時後，f(x)會怎麼樣？ Def(Definition):將此問題記成lim(x→2)f(x)=?. 這個問題是一個極限的

函數的連續性

連續函數是微積分最重要的一類函數， 因為積分所要對付的函數基本上就是連續函數， 並且可微分函數又是連續函數的子類。 ... 二、嚴格定義： 若f 在a 點有定義，即 ，極限 存在， 並且極限值就是f(a)，亦即 則稱f 在a 點連續。 如果f在其定義域A上的每一個點都連續，則稱f為一個連續函數

多項函數的導數與導函數

導數的定義

如同積分是起源於幾何問題中的求面積，導數也是起源於幾何學中。 例如，求在平面上通過一曲線上某點之切線斜率。 ... 若f 在定義域中每點皆可微，則稱f 為一可微函數，或說f 可微。 若f 在x連續，則 ， ，分別稱為f 在x 之右導數及左導數，二者也皆稱為單側導數

導數的意義

若我們想指出dy/dx 是在哪一個點取導數，則會用下面的符 號表示： 表示在a 點取y 對x 的導數，與y = f(x) 時的f'(a) 是相同的 意思。 函數f(x) =極限(limits) 與導數(derivatives)

幾何意義

二項不等式的幾何意義 考慮二次函數 的圖形： ，頂點為( , )。 (1)解 在圖形上找那些實數x使得其所對應的點(x,ax2+bx+c)在x軸的上方

物理意義

物理意義... 物理意義是用通俗易懂的语言描述物理量或者物理上引入该物理量的作用。 与概念有区别，概念是用简短，准确的学术性语言来描述一个物理定義

導函數公式

1.f(x) = An xn + An-1 xn-1 + ... + A1 x + A0 ==> f'(x) = n An xn-1 + (n-1) An-1 xn-2 + ... + A1

2.f(x) = xc ==> f'(x) = c xc-1

3.f(x) = sin(x+a) ==> f'(x) = cos(x+a)

4.f(x) = cos(x+a) ==> f'(x) = -sin(x+a)

5.f(x) g(x) 的導函數: f'(x)g(x) + f(x)*g'(x)

6.f(x) / g(x) 的導函數: (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))^2

微分公式

連鎖規則

連鎖規則是用來做合成函數的微分。並不困難，但許多同學會因不熟練而不小心寫錯

對數微分法

如果目標函數是由複雜的項相乘除所組成，此時使用微分乘
積公式會多出很多項。這個時候我們便可以考慮利用對數將
乘積拆開變成加總

微分的應用

  1. 求函數的極值

.若 y=f(x)為定義於[,] a b 上之函數，c ab ∈(,)，若 f(x)處有相對極大值或相對極小值，則 f '( ) 0 c = 或 f '( ) c 不存在或在端點

2.求某物理量之斜率或變率)

由導函數定義 f ∏ (xo) = x limdxo f(x)−f(xo) x−xo 則稱為 f ( ) x 在 o x 之改變率亦稱變率

  1. 求近似值

由微分之定義

  1. 證明不等式

洛爾(Rolle)定理( 轉折定理)
若 y=f(x)為定義於[a,b]上之函數且可微分，若 f(a)=f(b)存在，則至少存在一點解: c ab ∈(,)，使得 f () 0

均值定理

若 y=f(x)為定義於[a,b]上之函數且可微分，則至少存在一點c ab ∈(,)

積分

原理

「微積分基本原理」的意義是：一、找出微分和積分（求面積的問題）的關係； 二、把求曲線y=f(x)的面積的問題改成：「求一函數F(x)使 =f(x)」的問題

微積分學/極限/極限的性質

性質 1（極限的唯一性）

函數在某點或無窮遠處的極限（數列的極限）如果存在（無論是一個確定的數值還是無窮大），那麼只有一個

性質 2（極限的局部有界性）

如果函數 {\displaystyle f(x)} f(x)在某點 {\displaystyle c} c有（有限的）極限 {\displaystyle L} {\displaystyle L}，那麼函數 {\displaystyle f(x)} f(x)點 {\displaystyle c} c附近有界

性質 3（極限的保號性）

如果一個函數在某一點附近大於等於0，並且在趨於這一點時有極限，那麼極限也大於等於0

如果一個函數在自變量充分大（充分小）的時候恆大於等於0，並且在正無窮（負無窮）處有極限，那麼極限也大於等於0

如果一個數列的每一項都大於等於0，並且有極限，那麼它的極限大於等於0

性質 4（極限的運算法則）

1.若其中的 {\displaystyle L{1}} {\displaystyle L{1}}和 {\displaystyle L{2}} {\displaystyle L{2}}都不是0，那麼即使其中恰有一個是正無窮（負無窮），性質 4中極限的運算法則一樣成立

2.如果兩個極限 {\displaystyle L{1}} {\displaystyle L{1}}和 {\displaystyle L{2}} {\displaystyle L{2}}都是無窮，性質 4中乘積函數和一個常數乘以函數的極限的運算法則一樣成立

3.如果 {\displaystyle L{1}} {\displaystyle L{1}}和 {\displaystyle L{2}} {\displaystyle L{2}}都是正無窮（負無窮），那麼和函數與差函數極限的運算法則不變

性質 5（複合函數極限法則）

有了極限的四則運算法則和複合函數的極限法則，我們就可以計算大部分初等函數的極限

定積分

從上面的定義可知，可積分乃是極限問題。 通常，極限有時會不存在的，故並不是每一個有界函數均為可積分。 接下來的定裡要討論函數的可積性。 (1) 若f(x)在閉區間[a,b]上為連續，則f(x)在[a,b]是可積分的

不定積分定義

則稱F 為f 的一個反導函數. 乃微分式(di erential), 其中的x 表示積分變數, 明 確地說明是求f 對x 的反導函數, 如圖示. 由此導出, 微分與積分互為相反運算, 亦即, 互逆運算. 根據不定積分或反微分的定義以及微分規則, 得基本積分

微積分學

極限

微分學

積分學

無窮級數

羅爾定理

羅爾均值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分均值定理之一

1.在閉區間 {\displaystyle [a,b]} [a,b]上連續

2.在開區間 {\displaystyle (a,b)} (a,b)內可導

3.在區間端點處的函數值相等，即 {\displaystyle f(a)=f(b)} f(a)=f(b)，
那麼在 {\displaystyle (a,b)} (a,b)內至少有一點 {\displaystyle \xi (a<\xi <b)} \xi (a<\xi<b)，使得 {\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0} f^\prime(\xi)=0[

多元函數積分

在微積分學中，多元微積分（也稱為多變量微積分，英語：Multivariable calculus，multivariate calculus）是涉及多元函數的微積分學的統稱。相較於只有單個變量的一元微積分，多元微積分在函數的求導和積分等運算中含有至少兩個變量。例如微分多元函數時，就引申出偏微分、全微分，對多元函數進行積分計算時，又會涉及多重積分

一元微分

導數 · 高階導數 · 介值定理 · 中值定理（羅爾定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求導法則（乘法定則 · 除法定則 · 倒數定則 · 鏈式法則） · 洛必達法則 · 導數列表 · 導數的函數應用

單調性

極值

駐點

拐點

凹凸性

曲率

函數

函數極限

羅爾定理