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微積分 電機二仁 06 吳清暘 (積分 (定義 (通常分為定積分和不定積分兩種。 (不定積分 (積分技巧 (求初等函數的不定積分比求它們的導數要困難…
微積分 電機二仁 06 吳清暘
積分
定義
積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。
通常分為定積分和不定積分兩種。
定積分
不定積分
定義
在微積分中，一個函數 {\displaystyle f=f} {\displaystyle f=f}的不定積分
不定積分和定積分間的關係由微積分基本定理確定。
例子
函數 {\displaystyle f=K(x)={\frac {2^{x}}{\ln 2}}} {\displaystyle f=K(x)={\frac {2^{x}}{\ln 2}}}是函數
原函數族，也就是 {\displaystyle f=k(x)=2^{x}!} {\displaystyle f=k(x)=2^{x}!}的所有可能的原函數的集合，其中 {\displaystyle f=C!} {\displaystyle f=C!}叫做積分常數。
性質
積分上限函數
什麼樣的函數具有原函數是微積分理論中的基本問題。
微積分基本定理
不定積分的一個重要應用是計算定積分，微積分基本定理建立了兩者間的關係。
原函數存在定理
若函數f(x)在區間上連續,則f(x)在區間上存在原函數。
積分技巧
求初等函數的不定積分比求它們的導數要困難得多。
積分的線性性質使得我們可以把較為複雜的函數分成幾個較為簡單的函數的和來計算
分部積分法，用於函數乘積的積分。
對於常見的不定積分，可以查看積分表
換元積分法可以把被積函數轉換成比較容易積分的形式，但對換元函數有一定要求。
[不連續函的積分)
微積分基本定理要求 {\displaystyle f} f為連續函數，但是，對於不連續的函數，我們仍然可以考慮求不定積分。
一些很不「規則」的函數，儘管在「非常多」的點上並不連續，但仍有原函數。
在某些情況下，一些不「規則」的函數的不定積分可以通過黎曼積分求得。
積分的基本原理：微積分基本定理，由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨在十七世紀分別獨自確立。
可以方便地計算它在一個區間上的積分。
主要是由昂利·勒貝格建立的勒貝格積分。
簡介
積分發展的動力源自實際應用中的需求。
物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。
如果將橫軸等分成12個部分，然後按照以上的方法放上綠色長方形（如右圖■），
分成5個部分：[0,0.2)、[0.2,0.4)、[0.4,0.6)、[0.6,0.8)、[0.8,1]，然後每一部分上放一個黃色的長方形（見右圖■）。
黎曼積分
黎曼積分得名於德國數學家波恩哈德·黎曼，建立在函數在區間取樣分割後的黎曼和之上。
設有閉區間 {\displaystyle [a,b]} [a,b]，那麼 {\displaystyle [a,b]} [a,b]的一個分割是指在
在閉區間上取定一個（不規則的）取樣分割後獲得的黎曼和
對一個在閉區間 {\displaystyle [a,b]} [a,b]有定義的實值函數 {\displaystyle f} f， {\displaystyle f} f關於取樣分割 {\displaystyle x
{0},\ldots ,x
{n}} x
{0},\ldots ,x
{n} 、 {\displaystyle t
{0},\ldots ,t
{n-1}} t
{0},\ldots ,t
{n-1}
:
確定的子區間上不同的取樣方式構成的黎曼和：■ 右端值，■ 極小值， ■ 極大值， ■ 左端值。
勒貝格積分
勒貝格積分的出現源於機率論等理論中對更為不規則的函數的處理需要。
黎曼積分對初等函數和分段連續的函數定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。
黎曼積分（藍色）和勒貝格積分（紅色）
: :
其他定義
達布積分：等價於黎曼積分的一種定義，比黎曼積分更加簡單，可用來幫助定義黎曼積分。
哈爾積分：由阿爾弗雷德·哈爾於1933年引入，用來處理局部緊拓撲群上的可測函數的積分，參見哈爾測度。
伊藤積分：由伊藤清於二十世紀五十年代引入，用於計算包含隨機過程如維納過程或半鞅的函數的積分。
勒貝格－斯蒂爾傑斯積分：勒貝格積分的推廣，推廣方式類似於黎曼－斯蒂爾傑斯積分，用有界變差函數g代替測度 {\displaystyle \mu } \mu 。
性質
線性
積分是線性的。
保號性
如果一個函數 {\displaystyle f} f在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。
介值性質
其中的 {\displaystyle L({\mathcal {I}})} L(\mathcal{I}) 在黎曼積分中表示區間 {\displaystyle {\mathcal {I}}} {\mathcal {I}}的長度，在勒貝格積分中表示 {\displaystyle {\mathcal {I}}} {\mathcal {I}}的測度。
絕對連續性
積分的絕對連續性表明，如果函數在某區間或集合上可積，那麼當積分區域是近乎全區域的時候，積分的值也會逼近在全區域上的積分值。
積分不等式
涉及積分的基本不等式可以看作是一些離散不等式的類比。
微分
一元微分
函數在一點的微分。其中紅線部分是微分量 {\displaystyle {\textrm {d}}y} \textrm{d}y，而加上灰線部分後是實際的改變量 {\displaystyle \Delta y} \Delta y
通常把自變量 {\displaystyle x} x的增量 {\displaystyle \Delta x} \Delta x稱為自變量的微分，記作 {\displaystyle {\textrm {d}}x} \textrm{d}x，即 {\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x} {\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x}。
和倒數的關係
微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。
導數也叫做微商。於是函數 {\displaystyle y=f(x)} y = f(x)的微分又可記作 {\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x} {\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x}[2]。
幾何意義
設 {\displaystyle \Delta x} \Delta x是曲線 {\displaystyle y=f(x)} y = f(x)上的點 {\displaystyle P} P在橫坐標上的增量
例子
設有函數 {\displaystyle f:x\mapsto x^{2}} f : x \mapsto x^2，考慮它從某一點 {\displaystyle x} x變到 {\displaystyle x+{\textrm {d}}x} {\displaystyle x+{\textrm {d}}x}。這時，函數的改變量
其中的線性主部： {\displaystyle A=2x} A = 2x，高階無窮小是 {\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}} {\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}}。
以下有一例子： 當方程式為 {\displaystyle y=2x^{2}} {\displaystyle y=2x^{2}}是，就會有以下的微分過程。
微分法則
和求導一樣，微分有類似的法則。例如，如果設函數 {\displaystyle u} u、 {\displaystyle v} v可微
若函數 {\displaystyle y(u)} y(u)可導，那麼 {\displaystyle d[y(u)]=y'(u)du} d[y(u)]=y'(u)du
d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}
微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。
多元函數微分
定義
設 {\displaystyle f} f是從歐幾里得空間Rn（或者任意一個內積空間）中的一個開集 {\displaystyle \Omega } \Omega 射到Rm的一個函數。
為了和偏導數區別，多元函數的微分也叫做全微分或全導數。
如果 {\displaystyle f} f在點 {\displaystyle x} x處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。
性質
如果 {\displaystyle f} f是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。
可微的充分條件：如果函數 {\displaystyle f} f在一點 {\displaystyle x
{0}} x
{0}的雅克比矩陣的每一個元素 {\displaystyle {\frac {\partial f
{i}}{\partial x
{j}}}(x_{0})} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)
如果函數 {\displaystyle f} f在一點 {\displaystyle x
{0}} x
{0}處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素 {\displaystyle {\frac {\partial f
{i}}{\partial x
{j}}}(x_{0})} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)
例子
從 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} \mathbb {R} ^{2}射到 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} \mathbb {R} ^{3}的函數。它在某一點 {\displaystyle (x,y)} (x, y)的雅可比矩陣為：
\displaystyle J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}} J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix}
微分與微分形式
如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。
微分函數對每個點 {\displaystyle x} x給出一個近似描述函數性質的線性映射 {\displaystyle {\textrm {d}}f
{x}} {\displaystyle {\textrm {d}}f
{x}}
而微分形式對區域 {\displaystyle \mathbf {D} } \mathbf {D} 內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式
