Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
\(SS_{W}/\sigma^{2}\sim\chi^2_{I(J-1)}\)
och om alla \(\alpha_i=0\) så…
\(SS_{W}/\sigma^{2}\sim\chi^2_{I(J-1)}\)
och om alla \(\alpha_i=0\) så är
\(SS_{B}/\sigma^{2}\sim\chi_{I-1}^{2}\)
och oberoende av \(SS_W\)
Bevis \(SS_W\)
\[\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{j=1}^{J}(Y_{ij}-\overline{Y}_{i.})^{2}\sim\chi_{J-1}^{2}\] #
\(SS_W\) är ju lika med \(I\) sådana summor, och de är oberoende av varandra eftersom observationerna är det.
Summan av \(I\) st oberoende \(\chi_{J-1}^{2}\) är ju \(\chi_{I(J-1)}^{2}\)
Om felen är oberoende och ~ N(0, \(\sigma^2\))
Bevis \(SS_B\)
Därför är \[\frac{J}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{I}\left(\overline{Y}_{i.}-\overline{Y}_{..}\right)^{2}\sim\chi_{I-1}^{2}\] #
-
Bevis oberoende
\(SS_W\) is a function of the vector U, which has elements \(Y_{ij}-\overline{Y}_{i.}\), where i=1,...I and j=1,...,J. \(SS_B\) is a function of the vector V, whose elements are \(\overline{Y}_{i.}\), where i=1,...,I, since \(\overline{Y}_{..}\) can be obtained from the \(\overline{Y}_{i.}\).Thus, it is sufficient to show that these two vectors are independent of each other. First, if \(i\neq i'\), \(Y_{ij}-\overline{Y}_{i.}\) and \(\overline{Y}_{i'.}\) are independent since they are functions of different observations. Second, \(Y_{ij}-\overline{Y}_{i.}\) and \(\overline{Y}_{i.}\) are independent by #
:scroll:\[(n-1)S^{2}/\sigma^{2}\sim\chi^2_{n-1}\] #
-
-
-
-
