解一元二次方程式
多項式
定義
注意
運算
由數字和文字符號進行乘法
和加法運算所構成的式子
文字符號不可在絕對值、根號、分母
除法延伸
＋－
同類項才可相加減
餘式定理：多項式f(x)除以 x−a 的餘式等於f(a)
因式定理：設 f(x)為一多項式，則 x−α 為 f(x) 的因式 ⇔ f(α)=0
乘法公式
click to edit
延伸
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a＋b) (a－b) ＝a2－b2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
平方根
近似值
根號
定義
click to edit
畢氏定理
證明
別名
應用
a＜0
a≧0
ex：4的平方根記作 ±√4
一對共軛的純虛數
ex：-5的平方根記作 ±√5i
運算
意義
若b2＝a，則稱b是平方根
面積為2的正方形，邊長無法用有理數表示，以√2代表其實際數值
×÷
＋－
以虛數單位i＝√－1可將負數x的平
方根表示為±√－xi，其中√－xi＝√x
同時學習
同類方根才可相加減
ex：√2＋∛2＝∜2
有理化
雙根號
常數多項式分類
零多項式
零次多項式
若常數不為0，次數0次
若常數為0，不討論次數
ex：1＋3 ＝4 ﹔2x＋x＝3x
進階
單根號
ex：1/√3×√3/√3＝√3/3
ex：1/(√4 －√3) × (√4 ＋√3) / (√4 ＋√3)
＝(√4 ＋√3) / (4－3) ＝√4 ＋√3
雙重根號
直式開平方
圖解法
利用幾何作圖法與畢氏定理量取線段長度，以求取任何數的平方根
。此方法最簡單，但用尺來量得之長度所得到的精準度並不高。
十分逼近法
內插法
公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋(2a＋b)b
要開平方的數於小數點前後每兩位用逗
點標示，再利用平方公式作直式開方
若要開平方根的數在表上兩個已知點的中間，便可以利用點與點
間的直線特性與等比例的關係，求取中間相關的值為數的平方根
將單位長十等份後再將每一等份平
方，經比較後得到最接近的近似值
公式
定義
ex：1/√(√3)
a2+b2=c2
任意直角三角形的兩股長度平方和等於斜邊長的平方
商高定理、勾股定理、百牛定理
斜邊上的高
平面上兩點距離
若A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB距離為√((x2－x1)2＋)(y2－y1)2
＝兩股乘積/斜邊
2.
3.美國總統占士．加菲
1.
兩個大正方形的面積皆為(a＋b)2，把四個相等的三角形移除
後，左方餘下面積為 a2＋b2，右方餘下面積為c2，兩者相等
以三邊邊長各畫一個正方形，較小的兩個正方
形面積加起來，會跟較大的正方形面積相等
2×ab/2＋c2/2＝((a＋b)2)/2
目的
方法(一)因式分解
概念
將ax2＋bx＋c = 0分解為一次式乘積
原理
若 A × B = 0，則 A、B 至少有一個等於 0
ex：(x－1)(x－2) = 0則x－1= 0或x－2= 0
x＝1或2
分類
乘法公式
十字交乘法
提公因式
分組提
直接提
原理：若A、B、C皆為非零多項式，A×C＋B×C＝(A＋B)×C＝C×(A＋B)
原理：ax＋ay＋bx＋by可以先分為(ax＋ay)、(bx＋by)兩組，所以
ax＋ay＋bx＋by＝(a＋b) (x＋y)
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
平方差公式：a2－b2 ＝(a＋b) (a－b)
重根
分解出來的兩個因式一樣，可記為x＝□ (重根)
概念
(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)＋bd
ex：x2＋5x＋6＝x2＋(3＋2)x＋3×2＝(x＋3) (x＋2)
公式解
形式
配方法
可整理為ax2＋bx＋c＝0，只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是二次
A2＝B時
形式
公式
click to edit
原理
判別式b2－4ac ( D )的三種情形
ex
化簡過程
A2＝B，A＝±√B (共軛根)
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
(ax＋b)2＝c
〔2〕若B＜0，A＝0
〔3〕若B＝0，A無解 (國中階段)
〔1〕若B＞0，A＝±√B
ex：1. x2－2x－899＝0
- x2－2x＋12＝899＋12
- (x＋1)2＝900
- x＋1＝±30
- x＝31、29
- ax2＋bx＋c＝0
- x2＋b/ax＝－c/a
- (x＋b/2a)2＝(b2－4ac)/4a2
(2〕若B＝0，x=－b/2a(重根)
〔3〕若B＜0，方程式無解(國中階段)
〔1〕若D＞0，x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
click to edit
click to edit
click to edit
ex1：x2＋3x－28＝0
令a＝1、b＝3、c＝－28，得b^2-4ac＝32－4×1×(－28)＝121＞0，
∴ x＝4、－7
ex2：9x2＋6x＋1＝0
令a＝9、b＝6、c＝1，得b^2-4ac＝62－4×9×1＝0
∴ x＝－1/3(重根)
ex3：x2－3x＋4＝0
令a＝1、b＝－3、c＝4，得b^2-4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7 ＜0，
∴ x 無解