Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
.
\[t=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_{X}-\mu_{Y})}{s_{p}\sqrt{\frac{1}{n}…
.
\[t=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_{X}-\mu_{Y})}{s_{p}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim T(m+n-2)\]
.
sample \(X_{1},\ldots,X_{n}\) from \(N(\mu_{X},\sigma^{2})\)
sample \(Y_{1},\ldots,Y_{n}\) from \(N(\mu_{Y},\sigma^{2})\)
Proof
#
\((n-1)s_{X}^{2}/\sigma^{2}\sim\chi_{n-1}^{2}\) and
\((m-1)s_{Y}^{2}/\sigma^{2}\sim\chi_{m-1}^{2}\)
-
Vi behöver visa att \(t=\dfrac{Z}{\sqrt{X_{m+n-2}^{2}/(m+n-2)}}\) enligt #
Vi visar detta genom att skriva om t på formen Z/R:\[Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_{X}-\mu_{Y})}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\]\[R=\sqrt{\left[\frac{(n-1)s_{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(m-1)s_{Y}^{2}}{\sigma^{2}}\right]\frac{1}{m+n-2}}\]
vilket vi ser är kvoten av \(Z\) med \(\sqrt{X_{\gamma}^{2}/\gamma}\), dvs en t-fördelning med m+n-2 frihetsgrader vsv.
( \(Z\) och \(X^2_\gamma\) är här oberoende enligt #)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
