. [t=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu{X}-\mu{Y})}{s_{p}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim T(m+n-2)] .

$t=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_{X}-\mu_{Y})}{s_{p}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim T(m+n-2)$
.

sample $X_{1},\ldots,X_{n}$ from $N(\mu_{X},\sigma^{2})$

sample $Y_{1},\ldots,Y_{n}$ from $N(\mu_{Y},\sigma^{2})$

Proof

normally distributed

independent

📌\[\dfrac{Z}{\sqrt{X_{\gamma}^{2}/\gamma}}\sim T(\gamma)\]

📜\[(n-1)S^{2}/\sigma^{2}\sim\chi^2_{n-1}\]

#
$(n-1)s_{X}^{2}/\sigma^{2}\sim\chi_{n-1}^{2}$ and
$(m-1)s_{Y}^{2}/\sigma^{2}\sim\chi_{m-1}^{2}$

Summan av dem är $\chi_{m+n-2}^{2}$

and they are independent since $X_i$ and $Y_i$ are

(eftersom summan av oberoende chitvå är chitvå(summan av deras frihetsgrader))

Vi behöver visa att $t=\dfrac{Z}{\sqrt{X_{m+n-2}^{2}/(m+n-2)}}$ enligt #

Vi visar detta genom att skriva om t på formen Z/R:\[Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_{X}-\mu_{Y})}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\]\[R=\sqrt{\left[\frac{(n-1)s_{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(m-1)s_{Y}^{2}}{\sigma^{2}}\right]\frac{1}{m+n-2}}\]

vilket vi ser är kvoten av $Z$ med $\sqrt{X_{\gamma}^{2}/\gamma}$, dvs en t-fördelning med m+n-2 frihetsgrader vsv.

(om $Z$ och $X^2_\gamma$ oberoende)

( $Z$ och $X^2_\gamma$ är här oberoende enligt #)

📜

$\bar{X}$
och
$X_{1}-\bar{X}$
$\vdots$
$X_{n}-\bar{X}$

är oberoende

➡
$\bar{X}$ och $S^2$ är oberoende

\[\Rightarrow\]

(eftersom $S^2$ är en funktion av $X_i-\bar{X}$)

📜