Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Рациональные (алгебраические) дроби (Основное свойство рациональной дроби,…
Рациональные (алгебраические) дроби
Общие сведения
Определение
Рациональной дробью называют дробь, числитель и знаменатель которой есть многочлены с рациональными (в т.ч. с натуральными и целыми) коэффициентами.
Предварительные замечания
Одним из видов выражений школьного курса алгебры являются рациональные (алгебраические) дроби. Они относятся к рациональным выражениям.
Примеры
(-2)/(a^2·b – c)
(1/2·x^2 – x + 1)/(2x + 7)
Многочлены в числителе и знаменателе РД
В данном определении не уточняется, должны ли многочлены в числителе и знаменателе рациональной дроби быть многочленами стандартного вида или нет. Поэтому, будем считать, что в записях рациональных дробей могут содержаться как многочлены стандартного вида, так и не стандартного.
Основное свойство рациональной дроби
Предварительные замечания
План изучения основного свойства РД следующий: сначала рассмотрим основное свойство обыкновенной дроби, затем рассмотрим дробь с действительными числами в числителе и знаменателе и потом обобщим основное свойство на рациональные (алгебраические) дроби. Т.к. РД являются выражениями с переменными, сначала рассмотрим РД от одной переменной, а затем – РД от нескольких переменных.
Основное свойство обыкновенной дроби
Мы уже знаем основное свойство обыкновенной дроби – если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить (сократить) на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Видим, что основное свойство обыкновенной дроби состоит из двух частей (в зависимости от того, что мы имеем в начале): мы или домножаем, или сокращаем.
Если мы домножаем.
Формулировка: если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Если мы сокращаем.
Формулировка: если числитель и знаменатель обыкновенной дроби сократить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Оба факта доказываются с помощью модели с дольками целого пирога.
Основное свойство дроби с действительными числами
Интуитивно понятно, что основное свойство дроби можно расширить на дроби, в числителе и знаменателе которых стоят не только натуральные, а любые действительные числа (помним про деление на ноль). Задаемся вопросом: что мы имеем? Далее мы либо домножаем на произвольное не равное нулю действительное число, либо сокращаем на него.
Умножив числитель и знаменатель дроби a/b (b ≠ 0) на произвольное число c ≠ 0, мы получим дробь, равную данной: ac/bc = a/b (∀ a, b, c ∈ R; b, c ≠ 0).
Сократив числитель и знаменатель дроби ac/bc (b,c ≠ 0) на произвольное число c ≠ 0, мы получим дробь, равную данной: ac/bc = a/b (∀ a, b, c ∈ R; b, c ≠ 0).
Основное свойство алгебраической дроби
Очевидно, что далее мы расширим основное свойство на рациональные дроби. Сначала рассмотрим алгебраические дроби вида P(x)/Q(x), т.е. дроби, в числителе и знаменателе которых стоят многочлены от одной переменной. Затем рассмотрим РД, которые являются выражениями с несколькими переменными.
Вывод
Где применяется?
Основное свойство для P(x)/Q(x)
Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю
Сокращение рациональных дробей
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю
Действия с алгебраическими дробями
Умножение и деление алгебраических дробей
Сложение и вычитание алгебраических дробей
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Возведение алгебраической дроби в степень
Про числитель и знаменатель РД
Какие ТП?
К тождественным преобразованиям выражения в числителе можно отнести, например, группировку и приведение подобных слагаемых с дальнейшим вынесением общего множителя, а многочлен в знаменателе можно привести к стандартному виду или представить его в виде произведения (разложить многочлен на множители).
Зачем все это?
Рассмотренные преобразования числителя и знаменателя часто являются составной частью других характерных для рациональных дробей преобразований (например, приведение РД к новому знаменателю, сокращение РД, приведение нескольких РД к общему знаменателю).
Суть
Числитель и знаменатель алгебраической дроби представляют собой самодостаточные математические выражения (многочлены), с которыми (как и с любыми выражениями) можно проводить тождественные преобразования (т.е. заменять эти выражения на тождественно им равные).
Изменение знаков