Ολοκληρωτικοί παράγοντες:
Μη ακριβής διαφορικές εξισώσεις: \( M(t,y) dt + N(t,y) dy = 0 \) μπορούν να μετατραπούν σε ακριβείς με κατάλληλους ολοκληρωτικούς παράγοντες \( μ(t,y) \): \( μ(t,y) M(t,y) dt + μ(t,y) N(t,y) dy = 0 \).
Η ύπαρξη ενός τέτοιου ολοκληρωτικού παράγοντα προϋποθέτει την ύπαρξη γενικής λύσης της αρχικής διαφορικής εξίσωσης.
Γενική διαδικασία κατασκευής ενός ολοκληρωτικού παράγοντα:
\( \frac{\partial(μM)}{\partial y} = \frac{\partial(μN)}{\partial t} \)
\( \Rightarrow μ\frac{\partial M}{\partial y} + M\frac{\partial μ}{\partial y} = μ\frac{\partial N}{\partial t} + N\frac{\partial μ}{\partial t} \) \( \Rightarrow \frac{1}{μ} \left( N \frac{\partial μ}{\partial t} - M \frac{\partial μ}{\partial y} \right) = \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t} \)
Περιπτώσεις:
Συνάρτηση μόνο του \( t \):
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \frac{dμ}{dt} = \frac{1}{N} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t} \right) \equiv g(t) \)
\( \Rightarrow μ(t) = e^{\int g(t) dt} \)
Συνάρτηση μόνο του \( y \):
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \frac{dμ}{dy} = -\frac{1}{M} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t} \right) \equiv g(y) \)
\( \Rightarrow μ(y) = e^{\int g(y) dy} \)
Συνάρτηση του \( ty \):
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \frac{dμ}{d(ty)} = -\frac{1}{Ny-Mt} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t} \right) \equiv g(ty) \)
Θέτουμε \( s \equiv ty \):
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \frac{dμ}{ds} = g(s) \Rightarrow μ(ty) = e^{G(s)} \), όπου \( G'(s) = g(s) \)
