First Order D.O.:
F(t,y,y′)=0
Λυμένη (ή Κανονική) μορφή F.O.D.O.:
y′=f(t,y)
Εξισώσεις Χωριζομένων Μεταβλητών:
\( \frac{dy}{dt} = g(t) \; h(y) \)
\(\Rightarrow \frac{dy}{h(y)} = g(t) \; dt \; , \; \forall \; h(y) \neq 0 \)
Note: For \( h(y) =0 \) there's still a (constant) solution.
Ορισμοί
Γραμμικές Εξισώσεις σε κανονική μορφή (Γ.Δ.Ε.):
\( y'=-p(t) y + g(t) \)
Μέθοδος του Ολοκληρωτικού Παράγοντα
Κατάλληλο \( μ(t) \ne 0 \):
\( μ(t) \frac{dy}{dt} + μ(t) p(t) y = μ(t) g(t)
\Leftrightarrow\frac{d}{dt} \left( μ(t) y(t) \right) = μ(t) g(t) \).
Ισχύει για: \( \Rightarrow μ(t) = \exp \left( \int dt \; p(t) \right) \) ή \( \Rightarrow μ(t) = \exp \left( \int^t_{t_0} dτ \; p(τ) \right) \)
Μέθοδος Μεταβολής των Παραμέτρων
Η λύση της ομογενούς εξίσωσης \( g(t)=0 , \forall t \) είναι: \( y(t) = c \; \exp\left( \int dt \; p(t) \right) \).
Αναζητούμε λύση της μορφής: \( y(t) = c(t) \; \exp\left( \int dt \; p(t) \right) \).
Ισχύει γιά: \( \frac{d c(t)}{dt} = g(t) \exp \left( \int dt \; p(t) \right) \)
Γενική λύση (Τύπος της μεταβολής των παραμέτρων):
\( \Rightarrow y(t) = \frac{1}{μ(t)} \left[ \int dt \; μ(t) g(t) + c \right] = e^{ - \int dt \; p(t) } \left[ c + \int dt \; g(t) e^{ \int dt \; p(t) } \right] \)
Για Π.Α.Τ.: \( \Rightarrow y(t) = y_0 e^{ - \int^t_{t_0} p(s) \; ds } + \int_{t_0}^t dτ \; g(τ) \; e^{ - \int^t_{τ} p(s) \; ds } \)
Ίδια γενική λύση.
Note: Η γενική λύση είναι το άθροισμα της γενικής λύσης της ομογενούς εξίσωσης και μίας λύσης της μη ομογενούς εξόισωσης.
Περιοδικές Εξισώσεις
Της μορφής: \( y'=-p(t) y + g(t) \) για τις οποίες: \( p(t) \) και \( g(t) \) είναι περιοδικές με περίοδο Τ.
Note: Η περιοδική συνάρτηση \( g(t) \) ονομάζεται και συνάρτηση εξαναγκασμού.
Τετριμμένη λύση
Χώρος λύσεων
Theorem 1.1: Fredholm Theorem
Ο χώρος των λύσεων είναι μονοδιάστατος
Theorem 1.2
Απεικόνιση Poincaré:
Note:
- Ορισμός σταθερών σημείων: \( Π(y_0^*) = y_0^* \).
- Δεν συνεπάγει περιοδική λύση κάθε αρχική συνθήκη.
- Υπάρχουν Δ.Ε.: \( \lim_{n\to\infty} Π^n(y_0) = y_0^* \).
Βασικές Εξισώσεις
Από την απαίτηση της συνέχειας της λύσης προκύπτει ότι μόνο μόνο επιλογή προσήμου για όλα τα t είναι δυνατή.
Οι αναδρομικές σχέσεις είναι εύκολες!
Εξισώσεις ομογενείς και αναγόμενες σε ομογενείς
Εξισώσεις της μορφής: \( \frac{dy}{dt} = f(at+by) \; , \; a,b \in \mathcal{R} \) ανάγονται σε εξισώσεις χωριζομένων μεταβλητών μέσω του μετασχηματισμού: \( z = at + by \).
n-Order Homogeneous Equations:
Εξισώσεις που ανάγονται σε ομογενείς
SecondOrder D.O.:
\( y''=f(y,y') \)
Μετασχηματισμός: \( V = \frac{dy}{dt} \) μετατρέπει σε 1ου βαθμού: \( v \frac{dV}{dt} = h(y,V) \)
Note: Συνεπώς η αρχική Δ.Ε. 2ης τάξης είναι ισοδύναμη με δύο εξισώσεις πρώτης τάξης.
Ακριβείς Εξισώσεις
Θεώρημα 1.4 (Ικανή και αναγκαία συνθήκη για ακριβή διαφορική μορφή):
Επίλυση με επικαμπύλια ολοκλήρωση:
Note: Δεδομένης της απλής συνεκτικότητας του πεδίου ορισμού της \( F(t,y) \) συνάρτησης.
Ολοκληρωτικοί παράγοντες:
Μη ακριβής διαφορικές εξισώσεις: \( M(t,y) dt + N(t,y) dy = 0 \) μπορούν να μετατραπούν σε ακριβείς με κατάλληλους ολοκληρωτικούς παράγοντες \( μ(t,y) \): \( μ(t,y) M(t,y) dt + μ(t,y) N(t,y) dy = 0 \).
Η ύπαρξη ενός τέτοιου ολοκληρωτικού παράγοντα προϋποθέτει την ύπαρξη γενικής λύσης της αρχικής διαφορικής εξίσωσης.
Γενική διαδικασία κατασκευής ενός ολοκληρωτικού παράγοντα:
\( \frac{\partial(μM)}{\partial y} = \frac{\partial(μN)}{\partial t} \)
\( \Rightarrow μ\frac{\partial M}{\partial y} + M\frac{\partial μ}{\partial y} = μ\frac{\partial N}{\partial t} + N\frac{\partial μ}{\partial t} \)
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \left( N \frac{\partial μ}{\partial t} - M \frac{\partial μ}{\partial y} \right) = \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t} \)
Περιπτώσεις:
Συνάρτηση μόνο του \( t \):
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \frac{dμ}{dt} = \frac{1}{N} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t} \right) \equiv g(t) \)
\( \Rightarrow μ(t) = e^{\int g(t) dt} \)
Συνάρτηση μόνο του \( y \):
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \frac{dμ}{dy} = -\frac{1}{M} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t} \right) \equiv g(y) \)
\( \Rightarrow μ(y) = e^{\int g(y) dy} \)
Συνάρτηση του \( ty \):
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \frac{dμ}{d(ty)} = -\frac{1}{Ny-Mt} \left( \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial t} \right) \equiv g(ty) \)
Θέτουμε \( s \equiv ty \):
\( \Rightarrow \frac{1}{μ} \frac{dμ}{ds} = g(s) \Rightarrow μ(ty) = e^{G(s)} \), όπου \( G'(s) = g(s) \)
Αυτόνομη εξίσωση: Δεν εξαρτάται ευθέως από το \( t \).
Συστήματα
Σύστημα Lotka-Volterra:
\( \frac{dx}{dt} = (α - β y) x \)
\( \frac{dy}{dt} = (δ x - γ) y \)
Γενική Λύση:
Απαλοιφή του \( t \):
\( \Rightarrow - (δ x - γ) y \; dx + (α - β y) x \; dy = 0 \)
η οποία εξίσωση μετατρέπεται σε ακριβή εξίσωση με τον ολοκληρωτικό παράγοντα \( \frac{1}{xy} \):
\( \Rightarrow - \bigg( δ - \frac{γ}{x} \bigg) dx + \bigg(-β + \frac{α}{y} \bigg) dy = 0 \)
\( \Rightarrow F(x,y) = - δ x + γ \ln(x) - β y + α \ln(y) = c \)
Χαμιλτονιανά Συστήματα:
Η πιο σημανική τους ιδιότητα:
Θεώρημα 1.3:
Τα Βασικά Θεωρήματα
Απόλυτη σύκλιση συνεπάγει σύγκλιση.
Προσεγγιστικές Μέθοδοι
Μέθοδος Euler:
Μέθοδος Picard:
Μετατρέπει το Π.Α.Τ. σε ισοδύναμη ολοκληρωτική εξίσωση., την οποία στην συνέχεια και επιλύει:
\( y(t) = y_0 + \int^{t}_{t_0} f(s,y(s)) \; ds \)
Σύγκλιση Προσεγγίσεων Picard – Θεώρημα Τοπικής Ύπαρξης Picard–Lindelöf (Μονοσήμαντο):
Συνθήκη Lipschit
(πιο χαλαρή συνθήκη για μονοσήμαντο):
Note:
- Υπάρχει ενδεχόμενο η μοναδικότητα να χαθεί αν η \( f \) δεν ικανοποιεί τη συνθήκη του Lipschitz, παράδειγμα: \( y'=|y|^{1/2} \).
- Η απαίτηση της κανονικότητας επηρεάζει και το πεδίο ορισμού της λύσης για συγκεκριμένη Α.Σ..
Γραμμικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Ορισμός:
Περιεχόμενα.
Κεφάλαιο 1: Εξισώσεις Πρώτης Τάξης #
Κεφάλαιο 2: Τα Βασικά Θεωρήματα #
Κεφάλαιο 3: Ποιοτική Θεωρία #
Κεφάλαιο 4: Γραμμικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές #
Κεφάλαιο 4:
Ομογενής και μη ομογενής εξισώσεις:
Κεφάλαιο 1:
Κεφάλαιο 2:
Η Ομογενής Εξίσωση Τάξης 2:
Note: Λύση επίσης είναι και η \( φ(t) = 0, \; \forall t \).
Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο:
\( L(e^{r t}) = (r^2 + a_1 r + a_2) e^{r t} = 0 \; , \)
\( e^{r t} \ne 0 \Rightarrow r^2 + a_1 r + a_2 = 0 \Rightarrow \)
Θέτουμε τότε ως χαρακτηριστικό πολυώνυμο:\( p(r) \equiv r^2 + a_1 r + a_2 \)
\( \Rightarrow L(e^{r t}) = p(r) e^{r t} \)
Ορισμοί
Εξισώσεις Χωριζομένων Μεταβλητών #
Γραμμικές Εξισώσεις #
Περιοδικές Εξισώσεις #
Εξισώσεις Bernoullί Και Rίccatί #
Εξισώσεις Ομογενείς και Αναγόμενες σε Ομογενείς #
Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης #
Ακριβείς Εξισώσεις #
Συστήματα #
Εξίσωση Bernoulli:
\( y' + a(t) y = b(t) y^r \), όπου \( a(t), b(t) \) πραγματικές συναρτήσεις.
- Για \( r = 0,1 \): γραμμική.
- Για \( r > 0 \): \( y(t) = 0 \) λύση.
- Για \( r \ne 0,1 \): μη γραμμική. Με τον μετασχηματισμό όμως \( u = y^{1-r} \) και πολλαπλασιάζοντας με \( (1-r) y^{-r} \) μπορεί να λυθεί ως γραμμική.
Εξίσωση Riccati:
\( y' + p(t) y + q(t) y^2 = f(t) \), όπου \( p(t), q(t), g(t) \) πραγματικές συναρτήσεις.
Με αλλαγή μεταβλητής : \( y(t) = y_1(t) + u(t) \), όπου \( y_1(t) \) ειδική λύση,
μετατρέπεται στην εξίσωση Bernoulli.
Note: \( \Rightarrow u(t) = y(t) - y_1(t) \), σκοπός είναι η απαλοιφή του όρου \( y(t) \).
Η Άλλη Αντίληψη #
Μέθοδοι Picard και Euler #
Ανισότητα του Gronwall #
Συνεχής Εξάρτηση
Το Θεώρημα της Πεπλεγμένης Συνάρτηση
Σύγκλιση Προσεγγίσεων Picard - Θεώρημα Τοπικής Ύπαρξης Picard–Lindelöf #
Η άλλη αντίληψη
Επίλυση ενός Π.Α.Τ.:
\( \frac{dy}{dt} = f(t,y) \; , \; y(t_0) = y_0 \)
Η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων: η λύση ως όριο γνωστών συναρτήσεων,
\( y(t) = \lim_{n \to \infty} y_n(t) \)
Ποιοτική Θεωρία
Κεφάλαιο 3:
Πληθυσμιακά Μοντέλα
Διαγράμματα Φάσης
Γραμμικοποιήση
Δυναμικά Συστήματα
Το Διανυσματικό Πεδίο
Διακλαδώσεις
Η Ομογενής Εξίσωση Τάξης 2 #
Γραμμική Ανεξαρτησία #
Η Μη Ομογενής Εξίσωση Τάξης 2 #
Μέθοδος Lagrange #
Η Ομογενής Εξίσωση Τάξης n #
Η Μη Ομογενής Εξίσωση Τάξης n #
Μέθοδος Απροσδιόριστων Συντελεστών
Μηχανικές Ταλαντώσεις
Εισαγωγή #
Πεδίο Ορισμού Π.Α.Τ.:
Βασικό Παράδειγμα:
Ανισότητα του Gronwall:
Γραμμική Ανεξαρτησία:
Απόδειξη λύσης για \( r_1 = r_2 \):
Κατασκευή του Χώρου των Λύσεων:
Ιδιότητα της Ορίζουσας Wronski 2 λύσεων:
Η Ομογενής Εξίσωση Τάξης n:
\( L(y) = y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + a_2 y^{(n-2)} + ... + a_n y = 0 \)
Για εκθετική λύση της μορφής: \( e^{r t} \) \( \Rightarrow L(e^{r t}) = p(r) e^{r t} \), όπου
\( p(r) \) το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της εξίσωσης \( L(y) = 0 \).
Λύσεις:
Proof:
Γραμμική Ανεξαρτησία:
Πρόβλημα Αρχικών Τιμών:
Η Μη Ομογενής Εξίσωση Τάξης 2:
Μέθοδος Lagrange:
Cauchy–Euler Equation:
Η Μη Ομογενής Εξίσωση Τάξης n
Κεφάλαιο 5: Μέθοδος Δυναμοσειρών #
Κεφάλαιο 6: Γραμμικά Συστήματα #
Κεφάλαιο 7: Εξισώσεις Διαφορών
Κεφάλαιο 8: Μετασχηματισμός Laplace
Κεφάλαιο 9: Αρχή Μεγίστου και Θεωρία Sturm
Κεφάλαιο 10: Επίπεδο Φάσης
Μέθοδος Δυναμοσειρών
Κεφάλαιο 5
5.1 Δυναμοσειρές #
5.2 Ομαλά σημεία #
5.3 Εξίσωση Legendre #
5.4 Κανονικό Ιδιάζον Σημείο #
5.5 Εξίσωση Bessel #
Δυναμοσειρές
Ομαλά σημεία
Εξίσωση Legendre
Κανονικό Ιδιάζον Σημείο
Εξίσωση Bessel
Πρόβλημα Αρχικών Τιμών (Π.Α.Τ.): Η διαφορική εξίσωση μαζί με μία αρχική συνθήκη.
Εξίσωση Legendre τάξη α:
\( (1 - t^2) y'' - 2ty'+ α(α+1) y = 0\), όπου α μία πραγματική σταθερά
Check: Σύγκλιση σειράς!
Λύση:
Το \( t=0 \) είναι ομαλό σημείο της εξίσωσης Legendre και συνεπώς επιδιώκοντας λύση της μορφής:
\( \sum_{m=0}^\infty a_m t^m\),
καταλήγουμε:
Οι σειρές συγκλίνουν για \( |t|<1 \).
Γραμμικά Συστήματα
Κεφάλαιο 6
6.1 Ορισμοί, Ύπαρξη-Μονοσήμαντο #
6.2 Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις #
6.3 Ο τύπος της μεταβολής των παραμέτρων #
6.4 Συναρτήσεις Green #
6.5 Γραμμικές εξισώσεις τάξης n #
6.6 Σταθεροί συντελεστές Ι: Πίνακες διαγωνοποιήσιμοι #
6.7 Σταθεροί συντελεστές ΙΙ: Πίνακες μη απλής δομής
6.8 Περιοδικά γραμμικά συστήματα
Ορισμοί, Ύπαρξη-Μονοσήμαντο [Start]
Σύστημα Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης:
Μετατροπή διαφορικής εξίσωσης τάξης n λυμένης μορφής σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης:
Μη-ομογενές και ομογενές σύστημα:
Ορισμός διαφορίσιμης και ολοκληρώσιμης διανυσματικής συνάρτησης και πίνακα-συνάρτησης και ιδιότητες:
Ευκλείδια νόρμα της διανυσματικής συνάρτησης και του πίνακα-συνάρτησης:
Πρόβλημα Αρχικών Τιμών:
Θεώρημα Ύπαρξης:
Θεώρημα Μονοσήμαντου:
Ομογενείς Γραμμικές Εξισώσεις:
Το σύνολο των λύσεων της ομογενούς:
Δομή διανυσματικού χώρου:
Θεώρημα Διάστασης Χώρου Λύσεων:
Θεμελιώδες Σύστημα Λύσεων:
Θεμελιώδης Πίνακας Λύσεων:
Ιδιότητες Πίνακα Λύσεων:
Ορίζουσα Wronski του Πίνακα Λύσεων:
Θεώρημα Γραμμικής Ανεξαρτησίας Λύσεων:
Πόρισμα: Μηδενική Ορίζουσα Wronski:
Μεταγραφή Λύσεως Π.Α.Τ.
Θεώρημα Μετασχηματισμού Πίνακα Λύσεων
Ιδιότητες Κύριου Πίνακα:
Ορισμός Κύριου Πίνακα:
Γενική Λύση του Π.Α.Τ.:
Γεωμετρική Ερμηνεία του Τύπου του Liouville:
Ο Τύπος της Μεταβολής των Παραμέτρων
Η Γενική Περίπτωση
Η Εκθετική Συνάρτηση \( e^{At} \)
Το Συζυγές Πρόβλημα, Εφαρμογές στα Περιοδικά Συστήματα
Π.Α.Τ. για Μη Ομογενές Σύστημα:
Ο Χώρος Λύσεων της Ομογενούς και Μη Ομογενούς
Λύση Π.Α.Τ. για Α Πίνακα Σταθερό (Με Μέθοδο Μεταβολής των Παραμέτρων):
Ορισμός Πίνακα \( e^{A t} \):
Ιδιότητες Πίνακα \( e^{A t} \):
Ορισμός Συζυγούς Εξίσωσης:
Λύση Π.Α.Τ. για Α Πίνακα Σταθερό (Με Μέθοδο του Ολοκληρωτικού Παράγοντα):
Το Κριτήριο Εναλλαγής του Fredholm:
Συναρτήσεις Green
Γενική Μέθοδος
Παράδειγμα Προβλήματος Συνοριακών Συνθηκών:
Ενδεικτικό Παράδειγμα: