Flerdim

Defenitioner och matematiska opperationer

Defenitioner

Derivator

Tangent plan till en punkt[(4.3)].

Partiell derivata(Defn 4.1)

Gradienten (Sats 4.5–4.8+4.9). till en funktion

Defenition(Defn 4.2)

Rummet

R^n

Rummet är dina dimensioner var dina funktioner spelar ut

Delmängder av R^n

Öppen

sluten

Begränsad

Kompakt

Bågvist sammanhängande

Nivå kurvor och nivå yttor

Nivå kurva

Nivå yta

Nivå kurvor är när du studerar funktioner då n=2

Nivå yttor är när du studerar funktioner då n=

Rotations symmetri

Defenition

Kontunitet(Defn 3.2, Sats 3.1–3.2)

gränsvärden(Defn 3.2, Sats 3.1–3.2)

Sorters problem och lösnings metoden (kap 8-10)

Den är konstruerad av de partiella derivatorna för alla de dimensioner som funktionen appliceras över

Applicationer

Ett plan som är tangent med en två variables funktion med en i både x-led och y-led

Differentierbarhet (Defn 4.4, Sats 4.1–4.3, [Ex 4.6])

Kedjeregeln (Sats 4.4, [(4.11)–(4.12)], [Ex 4.9+4.27])

riktningsderivata (Defn 4.3)

Parameterisering

Ex:
r(s, t) =( x(s, t), y(s, t), z(s, t) )

Gradient och tangenters koppling

(n=3) Gradienten för en funktion i en punkt är normalen till den funktionens tangent plan I samma punkt

(n=2) Gradienten för en funktion i en punkt är normalen till den funktionens tangent I samma punkt

Kapitel 4: Partiella derivator av högre ordning (Sats 4.10)

partiella differentialekvationer och variabelbyte
[Ex 4.28–4.29 (vågekvationen)].

Taylors polynom

Taylors formel (Sats 5.1)

Stationära punkter

Extrem punkter(Defn 5.1, Sats 5.2)

Terrass punkter

Metoder för att studera stationära punkter

kvadratiska former (Defn 5.2, Sats 5.3),

Hess matriser

ABC kriterium

Andra partiella derivatan testet), [Ex 5.8].

Optimering

På kompakt område [Ex 5.9], 2

icke kompakt oområde [Ex], 3

Med bi-vilkoret (Sats 5.4–5.6) [Ex 5.18]

Differentierbarhet

Gradienten pekar mot riktningen med störst ökning

Defenition

det att en kurva, yta eller kropp anges som värdemängden av en funktion av (en, två respektive tre) variabler, som då kallas parametrar

Detta görs genom att sätta en av variablerna som olika fasta värden och rita up de olika funktionerna vid dessa värden

Applicationer

Parametrisk kurva

Parametrisk yta

Endimensionel input(1 parameter) 2 dimensionel output(kurvan)

2 dimensionel input(2 parametrar) och ett 3 dimensionelt output(ytan)

Transformationer

Mellan olika mängder av dimensioner

R^1 → R^1

f(x)=( g1(x) , g2(x) )

När du har en multi-variable funktion så är den partieella derivatan, derivatan I avsende på en av dessa variabler där den andra variabeln agerar som en konstant

Defenition

Applicationer

Riktnings derivatan är en additionen av de olika partiella derivatorna multiplicerat koordinaten för samma variable som den partiella derivatan deriverades I respekt med(Din vektor måste vara en enhets vektor)

Riktnings derivatan och på lutning

Skalär produkten av gradienten och vektorn

Nivå ytors koppling till gradienten #

Gradient vektorer pekar alltid vinkelrät mot linjerna I en nivåkurva/nivåyta

Funktions typer

Vektorvärda funktioner

Diffrentialen av en vektorvärd funktion

dr=(dx,dy)

Derivatan av en vektorvärd funktion

Derivatan av en vektor värd funktion I en punkt är tangent till kurvan i den punkten

r(t)=(x(t),y(t)), r'(t)=(x'(t),y'(t))

Definition

En vektor värd funktion är en funktion som tar in variabler som input och ger en vektor som output

Vektorerna startar alltid från origo och går till punkten som funktionen definierar och således beskriver den samma kurva/väg

Funktionalmatrisen (Defn 6.2) [Ex 6.7–6.8]

Fler dim kedjeregeln [Ex 6.10].

funktionaldeterminanten (Defn 6.3) [Ex 6.11–6.12],

Partial derivatan av en vektorvärd funktion

Fungerar som en vanlig partiell derivata

Glossor

Vid en transformation så tar man ett lokalt värde som kan behandlas som en linjär transformation. Den linjäratransformations matrisen blir derivatan ...

Beskriver hur mycket transformationen trycker ihop/drar ut rymden.

Hur man kontrollerar plan I 3d rymden

Partial derivator av ett plan är alltid en konstant

Sorters problem och lösnings metoden(Kap 2-4)

Kap 3

Sorters problem och lösnings metoden(kap 5-7)

Kap 4

Kap 7

Kap 5

Kap 8

Kap 9

Kap 10

Kap 2

Geometri I R^3

Polära rymd kordinater

Reellvärda funktioner

Nivå kurvor och nivå ytor

Vektorvärda funktioner

gränsvärde och kontinuitet

Partiella derivator och tangent plan

kedjeregeln

gradient och riktningsderivata

Differentierbarhet och differential

Partiella differentialekvationer av första ordningen

Partiella differential ekvationer av andra ordning

Taylor utveckling

Lokala extrempunkter

Optimering över kompakta områden

Optimering över icke-kompakta områden

Optimering med bivillkor

Kap 6

funktionalmatris

funktionaldeterminant

implicita funktioner

Dubbleintegral över rektangel

Dubbleintegral över godtyckligt område

Variablebyte i dubbelintegral

Generaliserade dubbelintegraler

Trippelintegraler

Volym

Tyngdpunkt

Tröghetsmoment

Ytor,area av buktig yta

Kurvintegraler

Greens formel

Potentialfält

Kurvintegraler

ytintegraler

stokes sats

Grad,div,rot

Geometri I R^2

Rita parametriserade funktioner

Rita geometiska former samt parametriserade funktione

Skissera mängd I plan och rum

Skissa defenitionsmängd

Skissa grafer och kurvor

Rita nivåkurvor och nivå ytor

Skissa kurvan/ytan/planet som parametriseras av...

Avbildningar

Finns gränsvärde?Finn gränsvärde

Kan funktionen bli kontinuerlig?

Bestämma alla lösningar till en differential ekvation på en viss form

Beräkning av första partiella derivator

Visa att funktionen är en nivåkurva

differential ekvationer

R^2 till R

Beräkna en funktions gradient

Beräkna riktnings derivatan I en punkt

Var är det brantast?I Vilken riktning är det brantast? Hur brant är det där?

Hur ska vektorn väljkas för att få stor derivata som möjligt

Bestäm skärnings punkter,skärnings vinkel

Tangent plan till nivå yta

Bstäm konstant så att planet tangerar med en yta

Bestäm alla punkt där vinkeln är ett specifikt värde

Transformation med subsitution/variable byte

Rita geometriska former

Sorters problem och lösnings metoden

Vektorvärda funktioner av en och två variabler

Bestämma alla andra ordningens partiella derivator till...

Transformation I andra ordningen

Bestämma den allmänna lösningen till den partiella differential ekvationen

Bestäm taylor polynom till flerdim funktion

Avgör om funktion är definit/indefinit/semidefinit

Ange lokala exterm punkter tolka om de är;Maximum/Minimum/

Bestäm största och minsta värde för en funktion I ett mråde/mot bevisa det

Visa att funktionen har största och minsta värden och bestäm dem