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Atto di moto rigido nel piano ((FullSizeRender 7), (Sistema di punti \( P…
Atto di moto rigido nel piano
Sistema di punti \( P_i \in Piano \quad \forall i \)
Definisco: \(\begin{cases} P_1 & \text{Origine O'} \\ \vec{I}= \frac{P_1 - P_2}{|| P_1 - P_2 ||}\\ \vec{J} \bot \vec{I}\end{cases}\)
Allora
\(\vec{r_i}=(P_i-O) = (P_1-O)+(P_i-P_1)=x_i \vec{i} + y_i \vec{j}+x'\vec{I} + y'\vec{J}\)
x' e y' sono
costanti
! Non cambiano! \(\vec{I}, \vec{J} \) saranno sempre
solidali
con il corpo rigido e
cambieranno
nel tempo
\(\begin{cases} \vec{I}=cos \theta \vec{i} + sin \theta \vec{j} &= \vec{I}(\theta)\\ \vec{J}= -sin \theta \vec{i} + cos \theta \vec{j} &= \vec{J}(\theta)\end{cases}\)
\(\vec{r_i}=x_i \vec{i} + y_i \vec{j}+x'\vec{I}(\theta) + y'\vec{J}(\theta) \rightarrow \vec{r}_i (x_i,y_i,\theta)\rightarrow \) 3 gradi di liberà (C.R. nel
piano
)
Nomenclatura
\(\begin{cases} {\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}} &\text{terna fissa} \\ {\vec{I}, \vec{J}, \vec{K}} &\text{terna mobile} \end{cases}\)
Atto di moto rigido nel piano
\(\vec{v}_p= \vec{v}_{O'} + \vec{\omega} \land (P-O') \)
Dimostrazione
\(\vec{r_p}=x_p\vec{i} + y_p \vec{j}+x'\vec{I}(\theta) + y'\vec{J}(\theta) \)
Derivo
3. Ma
\(\frac{d\vec{I}}{dt}=\dot{\theta} \vec{J} \quad \frac{d\vec{J}}{dt}=-\dot{\theta}\vec{I}\)
\( \vec{J}=\vec{K}\land \vec{I}\quad -\vec{I}=-\vec{J}\land \vec{K}=\vec{K}\land \vec{J}\)
Isolo \(\dot{\theta}\vec{K} \)
Ma \(\quad x'\vec{I}+y'\vec{J}=(P-O') \)
Definisco
\(\vec{\omega} = \dot{\theta}\vec{K} \)
Velocità angoalre
\(\vec{v}_p= \vec{v}_{O'} + \vec{\omega} \land (P-O') \)
Atto di moto traslatorio
Tutti i punti hanno la stessa velocità
\(\vec{\omega} = 0
\)
Atto di moto rotatorio
Si riesce a trovare un punto che ha \(\vec{v}=0\).
Istantaneamente
il Corpo Rigido sta ruotando attorno a quel punto. Lo mettiamo al posto di O'
\(\vec{v}_P=\vec{\omega}\land(P-O')\)
Teorema
Ogni atto di moto rigido piano
non traslatorio
può essere ricondotto ad un atto di moto rigido
puramente
traslatorio
Dimostrazione
Abbiamo corpo rigido
Troviamo il punto C | \( \vec{v}_C=0\)
\(C \in \) Corpo Rigido
\(\vec{v}_C=\vec{v}_{O'}+\vec{\omega}\land (C-O')=0\)
\(\underbrace{\vec{\omega}}_{noto} \land \underbrace{(C-O')}_{Incognita}=\underbrace{-\vec{v}_{O'}}_{noto} \)
\( \vec{a}\land\vec{x}=\vec{b} \)
Condizione necessaria: \( \vec{a} \bot \vec{b} \).
Verificata
\(\quad \vec{\omega}\bot\vec{v}_{O'} \)
Soluzione: \(\vec{x}=\frac{\vec{v}\land\vec{a}}{||\vec{a}||^2}+\lambda\vec{a} \)
Sostituisco
Trovo
CIR
\((C-O')=\frac{\vec{\omega}\land\vec{v}_{O'}}{||\vec{\omega}||^2} \)
Indentificazione CIR
Metodo Analitico
\((C-O')=\frac{\vec{\omega}\land\vec{v}_{O'}}{||\vec{\omega}||^2} \)
Metodo Geometrico
Teorema di Chasles
Nota la
direzione
delle velocità
non parallele
di 2 punti A, B il CIR si trova nell'intersezione tra le rette \(\bot \vec{v}_A, \vec{v}_B \)
Dimostrazione
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