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Svolgimenti ((Capitolo 7 (Transitori del I ordine ((Energia scambiata…

- - - - \(\begin{cases}V_c(t)=V_{c}(\infty) + e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}(V_{c}({0^+})-V_{c}(\infty))\quad \quad \tau=R_{eq}C \\ I_L(t)=I_{L}(\infty) + e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}(I_{L}(0^+)-I_L(\infty))\quad \quad \quad \tau=\frac{L}{R_{eq}}\end{cases}\)
      - Energia scambiata
        
        \(\begin{cases} W_C=\frac{1}{2}C\cdot v_C^2 \\ W_L=\frac{1}{2}L\cdot i_L^2 \end{cases}\)
      - Calcolo \(V_c(0^+) \) oppure \( I_L(0^+) \) nelle C.I. [Condensatore -> c.a. ; Induttore -> c.c.]
        
        Condizioni finali \(V_c(\infty) \) oppure \(I_L(\infty)\)
        
        Calcolo \(R_{eq} \)
        
        Calcolo \( \tau \)
        
        Sostituisco nella formula
- - - - Trasformate
        
        Data funzione cosinusoidale \( y=A\sqrt{2}cos(\omega t + \phi) \)
        
        \(\bar{y}=Ae^{j\phi}=A(cos \phi + j \sin\phi) \)
    - - Antitrasformate
        
        Dato fasore \( \bar{y}=a+jb \)
        
        \( y=\sqrt{2}|| \bar{y} ||cos(\omega t+\phi _ y) \)
        
        \( ||\bar{y} ||=\sqrt{a^2+b^2} \)
        
        \( \phi _y = \arctan{\frac{b}{a}} \)
    - - Reattanza
        
        Induttore
        
        \( X_L=\omega L \)
        
        Condensatore
        
        \( X_C=-\frac{1}{\omega C}\)
    - - Impedenze equivalenti
        
        Induttore
        
        \(\bar{Z}_L=jX_L \)
        
        Condensatore
        
        \( \bar{Z}_C=jX_C \)
- - - - Potenza complessa
        
        \( \bar{A}=\bar{V}\cdot \bar{I}*\quad \) [I complesso coniugato ]
        
        \( \bar{A}=P+jQ \)
        
        P = potenza attiva [W] \(\quad \bar{P}=\bar{Z}_R||\bar{I}||^2 \)
        
        Q = potenza reattiva [VAR] \(\quad \bar{Q}=\bar{Z}_L||\bar{I}||^2 \)
    - - Potenza apparente
        
        \( ||\bar{A} || = || P+jQ ||=\sqrt{P^2+Q^2}\)
    - - Fattore di potenza
        
        \( cos\phi=tan \frac{Q}{P}\)
    - - Teorema di Boucherot
        
        Bilancio di potenze in caso di rete in regime sinusoidale.
        In un circuito lineare e senza dissipazioni:
        \( \sum\) potenze attive (reattive) erogate dai generatori = \( \sum\) potenze attive (reattive) assorbite dai bipoli
        
        Procedimento
        
        Divido il circuito in sezioni t.c. ciascuna sezione ha elementi percorsi dalla stessa corrente (serie) oppure soggetti alla stessa tensione (parallelo)
        
        Per ogni sezione calcolo la potenza attiva e la potenza reattiva
        
        Calcolo la potenza apparente che mi serve per passare da una sezione all'altra
        
        N.B.: ogni successiva sezione ha come potenze la somma delle precedenti e quella attuale. Con la potenza apparente calcolo la tensione o la corrente necessaria usando la formula \(P=V\cdot I \)
    - - Osservazioni
        
        Resistori
        
        Dissipatori di potenza attiva (>0) P
        
        Induttori
        
        Dissipatori di potenza reattiva (>0) Q
        
        Condensatori
        
        Generatori di potenza reattiva (<0) Q
    - - Rifasamento
        
        Dimensionamento di un condensatore volto a ridurre la potenza richiesta ad un generatore.
        Il condensatore viene messo in parallelo al resto della rete
        
        Applico Boucherot
        
        Ottengo \( || \bar{V}_C ||\), P, Q visti dal condensatore
        
        Calcolo il valore della potenza reattiva: \( Q_d=P \tan(arccos(cos\phi _d)) \)
        
        Se \( Q_d < Q\) devo rifasare
        
        Calcolo \(Q_d =P \tan(arccos(cos\phi _d))\)
        
        \(Q_C=Q_d-Q \quad\) dove Q è quello calcolato con Boucherot
        
        \(\bar{X}_C=\frac{|| \bar{V} ||^2}{Q_C} \quad\) dato che \( \quad \bar{Q}_C = \frac{|| \bar{V}||^2}{\bar{X}_C}\)
        
        \( C=\frac{1}{\omega\cdot\bar{X}_C} \)