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VI. Condensatori. Induttori. Funzioni di trasferimento. Trasformata di…
VI. Condensatori. Induttori. Funzioni di trasferimento. Trasformata di Laplace
Condensatori e Induttori
CONDENSATORE
Bipolo Passivo (utilizzatori)
Presenta il fenomeno della memoria: la sua relazione costitutiva presenta un
legame differenziale
\(i_c=C\cdot \frac{dv_c}{dt} \)
C
capacità
: unità di misura
farad
F
C caratteristica intrinseca del condensatore. Dipende solamente dalle caratteristiche geometriche e costitutive dello stesso (materiali con i quali viene realizzato)
REGIME STAZIONARIO:
Tutte le variabili sono
costanti nel tempo
Condensatore
in regime stazionario corrisponde ad un
circuito aperto
\(v_c=cost \rightarrow i_c=0 \)
TRANSITORIO
\(v_c(t)=v_C(\infty)+e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}(v_C(t_0)-v_C(\infty)) \)
\(\tau=R_{eq}C \)
INDUTTORE
Bipolo passivo (utilizzatori)
Duale del condensatore
\(v_L = L \cdot \frac{di_L}{dt} \)
L
induttanza: unità di misura
henry
H
REGIME STAZIONARIO:
Induttore
in regime stazionario corrisponde a un
corto circuito
\(i_L= cost \rightarrow v_L=0 \)
TRANSITORIO
\(i_L(t)=i_L(\infty)+e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}(i_L(t_0)-i_L(\infty)) \)
\( \tau=\frac{L}{R_{eq}} \)
Funzioni di trasferimento
L'introduzione dei legami differenziali complica i calcoli per la risoluzione del circuito. Per ovviare a ciò si fa uso degli
spazi trasformati
Problema
nel dominio del tempo (derivate sono rispetto al tempo).
Soluzione
espressa da una variabile in funzione del tempo y(t).
Legame
di tipo differenziale.
Alternativa
: ci spostiamo un uno spazio
s
che ha una relazione biunivoca con il tempo. Nello spazio cerchiamo la soluzione
Y(s)
, la quale
non
ha un legame differenziale con le variabili di ingresso, bensì un
legame algebrico
. Una volta trovata la soluzione, si ritorna nel
domino del tempo
TRASFORMATA DI LAPLACE
Operatore
che prende una generica funzione del tempo e restituisce questa funzione nello
spazio s
.
s
è una
variabile complessa
\(\mathcal{L} [x(t)]=X(S)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\cdot e^{-s\cdot t}\cdot dt\)
\(s = a+ j\cdot b \)
\(j^2 = -1 \)
\(\mathcal{L}^{-1}[X(s)]= x(t)=\frac{1}{2 \pi j} \cdot \oint X(s) \cdot e ^{s \cdot t}\cdot ds\)
PROPRIETA'
Linearità
: La trasformazione di una combinazione lineare di unzioni è pari alla stessa combinazione lineare delle trasformazioni
Traslazione nel tempo
: \( \mathcal{L}[x(t-T)]=e^{-s \cdot T}\cdot X(s) \)
Dimostrazione
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Modulazione
:
prodotto
di una funzione per un
esponenziale
. La traslazione nel tempo comporta una modulazione
Modulazione nel tempo
: \(\mathcal{L}[x(t)\cdot e^{-a \cdot t}]=X(s+a) \)
Dimostrazione
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Si ha un
anticipo
nella trasformata: all'istante 0 ha il valore che dovrebbe avere all'istante a
Derivazione nel tempo
: \(\mathcal{L} \left[ \frac{dx(t)}{dt} \right]=s \cdot X(s)-x(0^-) \)
Dimostrazione
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Integrazione nel tempo
\(\mathcal{L} \left[ \int_0^t x(\tau) \cdot \tau \right]=\frac{X(s)}{s} \)
Dimostrazione
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\(\mathcal{L} [x(t)]=X(s)=\int_{0^{-}}^{\infty} x(t)\cdot e^{-s\cdot t}\cdot dt\)
Trasformazione di Laplace
unilatera
TRASFORMATE NOTEVOLI
Scalino
\(u(t)=\begin{cases} 0 & t\leq 0 \\ 1 & t>0 \end{cases} \)
\( \begin{align}\mathcal{L} \left[ u(t) \right] &= \int_{0^+}^{+\infty} 1 \cdot e^{-s \cdot t} \cdot dt \\ &= \frac{1}{s} \end{align}\)
Rampa
\( ram(t)=t\cdot u(t)= \begin{cases} 0 & t\leq 0 \\ t & t>0 \end{cases}\)
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Coseno
\(cos(\omega\cdot t) \)
\(\mathcal{L}\left[cos(\omega\cdot t) \right] =\frac{s}{s^2+\omega^2} \)
Seno
\(sin(\omega\cdot t) \)
\(\mathcal{L}\left[sin(\omega\cdot t) \right] =\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \)
Segnali smorzati nel tempo
\(x(t)\cdot e^{-a\cdot t} \quad \) dove x(t) è una qualunque funzione
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Trasformazione dei circuiti
Elementi lineari
Una volta trasformati, nello spazio delle frequenze complesse gli corrisponderà ancora un elemento lineare (
gdc, gdt, resistenze trasformatore ideale, amplificatore operazionale
)
Condensatore
\(i_c = C\cdot \frac{dv_c}{dt} \)
\(\mathcal{L} \left[i_c(t) \right]=C\cdot \mathcal{L} \left[ \frac{d}{dt} v_c(t) \right] \)
\( I_C(s)=s\cdot C \cdot V_C(s)-C\cdot v_c (0^-) \)
Compare una somma di due correnti: è analogo ad un equivalente Norton, il quale risultava composto dal
parallelo
di un GdC e du una
resitenza
. In questo caso la resistenza è sostituita da un
condensatore
che si comport come essa. La corrente passante nel condensatore è
variabile
; la corrente generata dal GdC è invece,
costante
(prodotto di una capacità per una ddc ad un istante fissato 0)
Impedenza
\( Z= \frac{1}{s\cdot C} \)
Induttore
\(v_L = L\cdot \frac{di_L}{dt} \)
\(\mathcal{L} \left[i_L(t) \right]=L\cdot \mathcal{L} \left[ \frac{d}{dt} i_L(t) \right] \)
\( V_L(s)=s\cdot L \cdot I_L(s)-L\cdot i_L (0^-) \)
Compare una somma di ddc: è analogo all'equivalente Thevenin, mettendo in
serie
un GdT ed una resistenza (induttore)
Impedenza
\(Z=s\cdot L \)
Resistenza
Viene sostituita dalla
Impedenza
\(Z=\frac{V}{I} \)
\(Z= R+ j\cdot X \)
R
: Resistenza (parte reale)
X
: Reattanza (parte immaginaria)
Conduttanza
Viene sostituita dalla
Ammettenza
\(Y=\frac{1}{Z} \)
\(Y=G+j\cdot B \)
G
: Conduttanza (parte reale)
B
: Suscettanza (parte immaginaria)
TRASFORMAZIONE NEL DOMINIO DI LAPLACE
Generatore di Tensione o di Corrente
variabile
E(s)
oppure
A(s)
Generatore di Tensione o di Corrente
Costante
:
\(\frac{E}{s} \) oppure \(\frac{A}{s} \)
Resistore
\(Z_R = R \)
Condensatore
Parallelo
GdC
: \(C\cdot v_c(0_{-}) \)
Impedenza
: \(\frac{1}{sC} \)
Induttore
Serie
GdT
: \(L \cdot i_L(0_{-}) \)
Impedenza
: \(sL \)