Espacios vectoriales
Tipos
Bases
Dimensión finita: R1, R2, .... R3
Dimensión Infinita: Espacio de todas las funciones finitas
Considere base a un conjunto de vectores cuando:
Base ortonormal
Éstos son lineal mente independientes (igualados a cero)
Generen cualquier vector de espacios vectoriales (v)
Espacio euclidiano
Un subconjunto S de V se dice ortonormal
si 〈α, β〉 = 0 para todos α, β ∈ S, con α ≠ β y 〈α, α〉 =1 para todo α ∈ S. Cuando S es base de V, se dice que S es base ortonormal.
Operaciones
Una operación denotada con + que a cada par de vectores v, w en V asocia
un vector v + w también en V, llamado suma de v y w.
Una operación llamada multiplicación escalar que a cada número real r y
vector v en V le asocia un vector rv en V, llamado producto de r y v.
La suma sea conmutativa: v + w =w + v
La suma sea asociativa: v+ (w+u)= (u+w) + u
v,w,u en V
Exista un vector cero en V tal que U+0= 1 para todo u en V. El vector 0 se llama idéntico aditivo.
Para cada vector v en V hay un inverso aditivo — v en V tal que v+ (-v)=0
(rs) v= r(sv)
(r+s) v= rv + sv
r (v+w)=rv + rw
r, s, E, R
1u = u para todo v en V
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El conjunto {β1, β2, ..., β r, β r 1} es ortonormal
y genera el mismo subespacio que {α1, α2, ..., α r, α r+1}.
Sea V un espacio euclidiano, W un subespacio. Definimos el complemento ortogonal de W como W⊥ := {α ∈ V : 〈α, β〉 = 0 para todo β ∈ W}.
Producto interno
Bases ortonormales
Espacio euclidiano
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Autonormalizar: Dividir cada uno de los vectores por su norma
Método de Gram-
Schmidt
Ortogonales
Asociadas en el espacio vectorial en un producto interno
El espacio vectorial complejo V tiene producto interno
si hay una función 〈 , 〉 : V V → C que satisfaga:
〈α, β〉 = 〈β,α〉 para todos α, β ∈ V.
〈aα+bβ, γ〉 = a〈α, γ〉 +b〈β, γ〉, para todos a, b ∈ C y para todos α, β, γ ∈ V.
〈α, α〉, ≥ 0, para todo α ∈ V y 〈α, α〉 = 0 solamente si α = 0.
Sea P una matriz real no singular, diremos que P es ortogonal
si P-1 = Pt.
Una matriz P es ortogonal ⇔ sus columnas son ortonormales.
Teorema de los ejes principales. Sea A una matriz simétrica. Entonces existe una matriz ortogonal P tal que P-1 AP = PtAP= diag{λ1, ..., λn}, con λ1, ..., λn
los valores característicos de A.
Método para obtención de bases