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poligoni inscritti e circoscritti (punti notevoli di un triangolo…
poligoni inscritti e circoscritti
poligoni
inscritti
definizione
un poligono è inscritto in una circonferenza se ha tutti i vertici sulla circonferenza
teoremi
se gli assi dei lati di n poligono NON passano per uno stesso punto, il poligono NON può essere inscritto
se un poligono è inscritto in una circonferenza, gli assi dei suoi lati si incontrano al centro della circonferenza
se un poligono ha gli assi dei lati che passano per uno stesso punto, allora può essere inscritto in una circonferenza
circoscritti
definizione
un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza
teoremi
se le bisettrici degli angoli di un poligono NON passano per uno stesso punto, il poligono NON può essere circoscritto
se un poligono è circoscritto a una circonferenza, le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nel centro della circonferenza
se un poligono convesso ha le bisettrici degli angoli che passano per uno stesso punto, allora il poligono può essere circoscritto a una circonferenza
punti notevoli di un triangolo
incentro
definizione
il punto di incontro delle bisettrici di un triangolo si chiama incentro ed è il centro della circonferenza inscritta
excentro
definizione
il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e la bisettrice dell'angolo interno non adiacente a essi si chiama excentro
circocentro
definizione
il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo si chiama circocentro ed è il centro della circonferenza circoscritta
ortocentro
definizione
in un triangolo il punto di incontro delle altezze (o dei loro prolungamenti) si chiama ortocentro
baricentro
definizione
il punto di incontro delle mediane di un triangolo si chiama baricentro
teorema
le mediane di un triangolo si incontrano in un punto. Il punto di intersezione divide ogni mediana in due parti, tali che quella avente per estremo il vertice è doppia dell'altra
la piramide e i solidi di rotazione
piramide = si chiama piramide la parte di angoloide compresa fra il suo vertice e un piano che interseca tutti i suoi spigoli
piramide retta
definizione
una piramide è retta quando nella sua base si può inscrivere una circonferenza il cui centro è la proiezione ortogonale del vertice della piramide sul piano di base
teorema
in una piramide retta, le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenza inscritta e sono tra loro congruenti
piramide regolare
definizione
una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare
solidi di rotazione
cono
solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno a uno dei cateti
cilindro
solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno a uno dei suoi lati
sfera
solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro
quadrilateri
inscritti
teoremi
condizione sufficiente e necessaria affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza è che abbia gli angoli opposti supplementari
in un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari
un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrivibile in una circonferenza
circoscritti
teoremi
condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero sia circoscrivibile a una circonferenza è che la somma di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due
in un quadrilatero circoscritto a una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due
se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora è possibile circoscrivere il quadrilatero alla circonferenza
poligoni regolari
definizione
un poligono è regolare quando ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti
poligoni regolari e le circonferenze inscritta e circoscritta
un poligono regolare è inscrivibile a una circonferenza e circoscrivibile a un'altra; le due circonferenze hanno lo stesso centro
la circonferenza divisa in archi congruenti
teoremi
se una circonferenza è divisa in tre o più archi congruenti, allora
il poligono che si ottiene congiungendo i punti di suddivisione è regolare
il poligono circoscritto che si ottiene tracciano le tangenti alla circonferenza nei punti di suddivisione è regolare
una circonferenza è suddivisa in archi congruenti dai
vertici dei poligoni regolari inscritti
punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti
teorema
il lato dell'esagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente al raggio della circonferenza