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Déterminants - Vecteurs Valeurs propres - Réduction Groupe 8 (Polynôme…
Déterminants - Vecteurs Valeurs propres -
Réduction Groupe 8
Déterminant
Application unique de Mn(K) => K
N-Linéaire : Linéaire sur chaque colonne
Alternée : det = 0 dès que Ai=Aj
Det(Id)=1
Det(uA) = u^(n) . Det(A)
Det(A1...Ai Aj ...An) = - Det(A1 ... Aj Ai ... An)
si det(A)=0 alors A est inversible
Vecteur Propre : f(x) = α x ou A.X=α.X
α est une valeur propre
Spectre de la matrice : Ensemble des valeurs propres de A
Polynôme Caractéristique
det(X*Id-A)
Sert à trouver les valeurs propres
Sert à diagonaliser la matrice pour donner une simple interprétation géométrique.
Espace Propre (Ei) : Sous-E.V contenant les vecteurs propres obtenues par chaque valeur propre en résolvant l'équation A.X=αX
dim(Eα) <= multiplicité(α)
Comment diagonaliser une Matrice ?
Calculer le Polynôme Caractéristique
En obtenant ses racines, on a ses valeurs propres
A partir de la forme du Polynome Caractéristique, on obtient le Spectre de A ainsi que la multicité de chaque valeur propre.
A est diagonalisable si ses valeurs propres sont distinctes les unes des autres
Si une valeur propre a une multiplicité >1
On peut déterminer son Espace Propre et sa dimension est égale à sa multiplicité