Applications Linéaires - Matrices (Groupe 8)
f est linéaire si elle est un morphisme d'espaces vectoriels
Le noyau de f est un espace vectoriel
L'image direct de f est un sev de F
Si Ker(f)={0} alors f est injective
Théorème du Rang : dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))
La matrice de f dans la Base B est définie par les coordonnées de la base canonique en fonction de f dans la base B
Opérations sur les Matrices
Si A,B appartient à Mm,m(K) : (A+B)i,j = (A)i,j + (B)i,j
Si A appartient à Mm,n(K) : λ(Ai,j) = (λA)i,j
Si A et B représentent respectivement les applications linéaires ƒ et g, alors A×B représente la composition des applications ƒog.
Si A appartient à Mkm(K) et B appartient à Mmn(K) alors C = A.B appartient à Mkm(K)
Inverse d'une matrice : Element neutre de l'ensemble des matrices Mnm(K)
Il existe une matrice B telle que A.B=B.A= neutre=Id
Si A est inversible alors l'application représentative de la matrice est bijective
Méthode 1 : Pivot de Gauss
Methode 2 : On résout le système AX = Y et on doit obtenir X=A(-1)Y
Changement de Base
P(B)(B') =(P(B')(B))^-1
Pour les vecteurs
X=P.X' et X'=P(^-1).X
X: Vecteur dans la base 1 X' : Vecteur dans la base 2 P : Matrice de Passage
Pour les Matrices
A'=P^(-1).A.P
A' : Matrice exprimée dans la nouvelle base A: Matrice exprimée dans l'ancienne base P : Matrice de Passage
Si det(A)=0 alors A est inversible