IL PIANO CARTESIANO
com'è composto
le simmetrie
le assi
origine
i quadranti
i quadranti sono i quattro quadrati formati dall'incrocio delle assi
il primo quadrante avrà sia le X che le Y positive
il secondo quadrante avrà le X negativa e le Y positiva
il terzo quadrante avrà sia le X che le Y negative
il quarto quadrante avrà le X positive e le Y negative
si chiama origine (segnato con O) il punto d'unione delle assi della X e della Y
asse delle X
asse delle Y
si chiama asse delle x (o asse delle ascisse) la retta orizzontale
si chiama asse delle y (o asse delle ordinate) la retta verticale
come localizzare un punto
un punto P può essere rappresentato sul piano indicando la X e la Y.
P=(1,2)
ciò significa che il punto P si troverà ad x=1 ed a y=2
la distanza
simmetria rispetto all'asse Y
simmetria rispetto all'origine
simmetria rispetto all'asse Y
la distanza tra due punti A (x1 y1) e B (x2 y2) aventi la stessa ascissa è uguale al valore assoluto della differenza tra le loro ordinarte, ovvero: AB= I y2-y1 I
la distanza tra due punti A (x1 y1) e B (x2 y2) aventi la stessa ordinata è uguale al valore assoluto della differenza tra le loro ascisse, ovvero: AB = I x2 - x1 I
distanza tra due punti del piano cartesiano
la distanza tra due punti A (x1 y1) e B (x2 y2) si calcola creando un triangolo rettangolo
AB = √ (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
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il punto medio
siano A (x1 y1) e B (x2 y2) due punti del piano cartesiano e M il punto medio del segmento AB. l'ascissa di M è la media aritmetica delle ascisse di A e B e l'ordinata di M è la media aritmetica delle ordinate di A e di B; in simbboli:
M {(x1+x2) :2 , (y1+y2) :2 }
la funzione linearare
è definita da un'equazione del tipo: Y = mX + q
m è il coefficiente angolare dà informazioni sulla "inclinazione" rispetto all'asse X della retta che costituisce il grafico della funzione: per questo m viene anche chiamato pendenza della retta
il termine noto q è l'ordinata del punto di intersezione del grafico Y = mX + q prende anche il nome di ordinata all'origine
se m < 0
se m > 0
la retta di Y = mX + q forma con l'asse X un angolo acuto
la retta grafico Y = mX + q forma con l'asse X un angolo ottuso
in questo caso, percorrendo la retta "da sinistra verso destra", si "sale": per questo si dice che il grafico della retta è crescente
percorrendo la retta "da sinistra verso destra", si "scende": per questo si dice che il grafico della retta è decrescente
una retta passante per l'origine, diversa dall'asse Y, ha equazione del tipo: Y = mX dove m è un numero reale
una retta non parallela all'asse Y ha equazione del tipo: Y=mX+q dove m e q sono numeri reali
tipi di retta
retta parallela all'asse Y
retta passante per l'origine
retta parallela all'asse X
retta generica non parallela all'asse Y
y=k
x=h
y=mx
y=mx+q
il coefficiente angolare è zero
il coefficiente angolare non è definito
il coefficiente angolare è m
il coefficiente angolare è m
retta
esplicita
implicita
se l'equazione di una retta è assegnata nella forma ax+by+c=0
se l'equazione è data in forma y=mx+q
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2x + 3y + 2 = 0
risolvendo questa equazione per y si ottiene
è in forma implicita
y = - 2/3 x -2/3
è in forma esplicita
due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. ovvero: m=m'
fascio di rette
fascio improprio di rette
fascio proprio di rette
posizione reciproca delle rette
rette parallele distinte
rette coincidenti
rette incidenti
condizione analitica per rette in forma implicita: a/a' ≠ b/b'
condizione analitica per rette in forma implicita: a/a' = b/b' e b/b' ≠ c/c'
condizione analitica per rette in forma implicita: a/a' = b/b' = c/c'
condizione analitica per rette in forma esplicita: m ≠ m'
condizione analitica per rette in forma esplicita: m = m' e q ≠q'
condizione analitica per rette in forma esplicita: m = m' e q =q'
se nell'equazione y=mx+k immaginiamo che m sia costante e k sia un parametro reale, otteniamo, al variare di k, l'insieme di tutte le infinite rette parallele alla retta r di equazione y = mx
l'insieme di tutte le retta passanti per un punto chiamato P
rette perpendicolari
due rette non parallele agli assi, aventi equazioni esplicite y = mx + q e y = m'x+q' sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari hanno come prodotto -1. la condizione di perpendicolarità è quindi:
mm' = -1
l'equazione della retta passante per P (x0 y0) e di coefficiente angolare m è: y-y0 = m(x-x0)
il coefficiente angolare m della retta passante per A(x1 y1) e B(x2 y2) con x1 ≠ x2, è uguale al rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di A e di B; in simboli:
m=y2-y1 : x2-x1