⭐ การนับ ⭐

ความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ⚡

การจัดหมู่ (Combination) ⏭

การประยุกต์ใช้กับคอมพิวเตอร์ 💻

การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 🔀

การนำสิ่งของจำนวนหนึ่งมาจัดเรียงโดยสนใจลำดับของสิ่งของที่จัดเรียง

การเรียงสับเปลี่ยน

เป็นการนำสิ่งของจำนวนหนึ่งมาจัดเรียงโดยที่ปลายทั้งสองข้างไม่บรรจบกัน
(เป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งก็ได้)

แฟคทอเรียล

เช่น ตัวอักษร A, B, C นำมาจัดเรียงจะได้ 6 วิธี

แนวคิด

ABC ACB BAC BCA CAB CBA

ตำแหน่งที่ 1 จะเป็นอักษร A, B, หรือ C ก็ได้จึงมี 3 วิธี

ตำแหน่งที่ 2 จะเหลือตัวอักษรที่จะจัดเรียง 2 ตัว จึงมี 2 วิธี

ตำแหน่งที่ 3 เหลืออักษรตัวเดียว จึงมี 1 วิธี

ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 3 x 2 x 1 = 6 วิธี

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น

การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

  1. สิ่งของที่จัดเรียงแตกต่างกันทั้งหมด
  1. สิ่งของที่จัดเรียงไม่แตกต่างกันทั้งหมด

กรณีที่ 1.1 นำมาจัดเรียงทั้งหมด

กรณีที่ 1.2 นำมาจัดเรียงบางสิ่ง

ให้อักษร 3 ตัว คือ X, Y, Z

กฎข้อ 6

จะไม่มีหัวแถวหรือท้ายแถว

ถ้ามีของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด นำมาจัดเรียงเป็นวงกลมโดยให้ของสิ่งหนึ่ง
อยู่คงที่แล้วจัดของที่เหลือจำนวน (n-1) สิ่ง จะจัดเรียงได้เท่ากับ (n-1)! วิธ

เชิงเส้น จะจัดได้ 3! = 6 วิธีคือ XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX

นิยามที่ 4.1 กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก แฟคทอเรียล n เขียนแทนด้วย n!โดยที่

สำหรับจำนวนเต็มบวก n

n! = 1 x 2 x 3 x. . . x (n – 1) x n

n! = n (n-1) ! , 0! = 1

แบ่งออกเป็น 2 ชนิด

  1. สิ่งของที่จัดเรียงแตกต่างกันทั้งหมด
  1. สิ่งของที่จัดเรียงไม่แตกต่างกันทั้งหมด

กรณีที่ 1.1 นำมาจัดเรียงทั้งหมด

กรณีที่ 1.2 นำมาจัดเรียงบางสิ่ง

กรณีที่ 1.1

นำมาเรียงสับเปลี่ยนทั้ง n สิ่ง

ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด

จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นหาได้ดังนี้
ตำแหน่งที่ 1 วางสิ่งของใดๆ ใน n สิ่งก็ได้วิธีวางเท่ากับ n วิธี
ตำแหน่งที่ 2 มีวิธีวางเท่ากับ (n – 1) วิธี
ตำแหน่งที่ 3 มีวิธีวางเท่ากับ (n – 2) วิธี
ตำแหน่งที่ n เหลือของอยู่สิ่งเดียว วิธีวางเท่ากับ 1 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้ง n สิ่งเท่ากับ n! วิธี

กรณีที่ 1.2

ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด

นำมาเรียงสับเปลี่ยน r สิ่ง

ตำแหน่งที่จัดเรียงจะมีเพียง r ตำแหน่ง โดย
ตำแหน่งที่ 1 วางสิ่งของใดๆ ใน n สิ่งก็ได้วิธีวางเท่ากับ n วิธี
ตำแหน่งที่ 2 มีวิธีวางเท่ากับ (n – 1) วิธี
ตำแหน่งที่ 3 มีวิธีวางเท่ากับ (n – 2) วิธี
ตำแหน่งที่ r มีวิธีวางเท่ากับ n – (r - 1) = n – r + 1 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ r สิ่งเท่ากับ n!/(n - r)! วิธ

กฎข้อ 5

จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดแบบเชิงเส้นโดยจัด
เรียงแค่ r สิ่ง เขียนแทนด้วย Pn,r หาได้จาก

Pn,r = n ! / (n-r) !

ให้ของ n สิ่งแยกได้เป็น
สิ่งของเหมือนกันกลุ่มที่ 1 คือ n1
สิ่งของเหมือนกันกลุ่มที่ 2 คือ n2
สิ่งของเหมือนกันกลุ่มที่ k คือ nk
ดังนั้นจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนจะเท่ากับ


n ! / n 1 !n 2 ! n k วิธี

  1. แบ่งสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่งออกเป็น k กลุ่ม
  1. แบ่งสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่งออกเป็น k กลุ่ม
  1. เลือกสิ่งของ r สิ่งจากสิ่งของที่ต่างกันทั้งหมด n สิ่ง

เมื่อ 0 ≤ r ≤ n

โดยแต่ละกลุ่มมีจำนวนสิ่งของไม่เท่ากัน


โดยแต่ละกลุ่มมีจำนวนสิ่งของเท่ากัน

เขียนแทนด้วย C r,n หรือ n/r

n! / r!(n-r)!

n1 , n2 ,..., nk โดยที่ n1 ≠ n2 ≠ ... ≠ nk และ n1 + n2 +...+ nk = n

n! / n1!n2!n3!...nn!

n! / ((r!)^k)k!

การทดลองสุ่ม


ปริภูมิตัวอย่าง (Sample space)

ความน่าจะเป็น

เหตุการณ์

ความน่าจะเป็นมีคุณสมบัติที่สำคัญ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง

เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

ใช้สัญลักษณ์ S

เซตย่อยของปริภูมิตัวอย่าง

ใช้สัญลักษณ์ E

  1. ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน จะได้ P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2)
  1. ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน จะได้ P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
  1. P(S) = 1 และ P(∅) = 0

  1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
  1. ถ้า E เป็นเหตุการณ์ใดๆ จะได้ P( E ) + P( E' ) = 1

นิยามที่4.2

0 ≤ P(x) ≤ 1 สำหรับทุกๆ ค่าของ x ∈ S และ

การประยุกต์ใช้ฐานข้อมูลในงานทะเบียนนักศึกษา

การจัดเก็บข้อมูลและสารสนเทศ

ข้อมูลเกี่ยวกับอาจารย์ที่ปรึกษา เช่น รหัสอาจารย์ที่ปรึกษา ชื่ออาจารย์ เป็นต้น

ข้อมูลเกี่ยวกับนักศึกษา เช่น รหัสประจำตัว ชื่อ-นามสกุล รหัสวิชาเอก คณะ เป็นต้น

ข้อมูลเกี่ยวกับชุดวิชาที่ลงทะเบียน เช่น ภาคการศึกษา ปีการศึกษา รหัสชุดวิชา ชื่อชุดวิชา จำนวนหน่วยกิต ค่าลงทะเบียน เป็นต้น

การจัดเก็บข้อมูลในระบบทะเบียนราษฎร์ การเก็บสารสนเทศตามเว็บไซด์ในเครือข่ายอินเทอร์เน็ต

การพยากรณ์อากาศ ระบบเอกซเรย์คอมพิวเตอร์

หลักการนับเบื้องต้น ✅

หลักการบวก

กฎข้อ 4

การทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยวิธีการทำงาน k วิธี

จำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1+n2+...+nk วิธี

วิธีที่ k มีวิธีการทำงาน nk วิธี

วิธีที่ 2 มีวิธีการทำงาน n3 วิธี

แต่ละวิธีของการทำงานไม่เกิดซ้ำซ้อนกัน

วิธีที่ 1 มีวิธีการทำงาน n1 วิธี

กฎข้อ 3

การทำงานหนึ่งประกอบด้วยวิธีทำงาน 2 วิธี

จำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1 + n2 วิธี

วิธีที่ 2 มีวิธีการทำงาน n2 วิธี

วิธีที่ 1 มีวิธีการทำงาน n1 วิธี

แต่ละวิธีของการทำงานไม่เกิดซ้ำซ้อนกัน

หลักการคูณ

กฎข้อ 2

การทำงานหนึ่งประกอบด้วยงานย่อยหลายชนิด

จำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1n2n3...nk วิธี

ในงานชนิดที่ k-1 มีวิธีการทำงานชนิดที่ k ได้ nkวิธี

งานชนิดที่ 1 มีวิธีทำได้ n1 วิธี

ในงานชนิดที่ 2 มีวิธีการทำงานชนิดที่ 3 ได้ n3 วิธี

ในงานชนิดที่ 1 มีวิธีการทำงานชนิดที่ 2 ได้ n2 วิธี

กฎข้อ 1

การทำงานหนึ่งประกอบด้วยงานย่อย 2 ชนิด

จำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ AB วิธี

ในงานย่อยชนิดที่ 1 มีวิธีทำงานย่อยชนิดที่ 2 อีก B วิธี

งานย่อยชนิดที่ 1 ทำได้ A วิธี