⭐ การนับ ⭐
ความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ⚡
การจัดหมู่ (Combination) ⏭
การประยุกต์ใช้กับคอมพิวเตอร์ 💻
การเรียงสับเปลี่ยน (Permutation) 🔀
การนำสิ่งของจำนวนหนึ่งมาจัดเรียงโดยสนใจลำดับของสิ่งของที่จัดเรียง
การเรียงสับเปลี่ยน
เป็นการนำสิ่งของจำนวนหนึ่งมาจัดเรียงโดยที่ปลายทั้งสองข้างไม่บรรจบกัน
(เป็นเส้นตรงหรือเส้นโค้งก็ได้)
แฟคทอเรียล
เช่น ตัวอักษร A, B, C นำมาจัดเรียงจะได้ 6 วิธี
แนวคิด
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
ตำแหน่งที่ 1 จะเป็นอักษร A, B, หรือ C ก็ได้จึงมี 3 วิธี
ตำแหน่งที่ 2 จะเหลือตัวอักษรที่จะจัดเรียง 2 ตัว จึงมี 2 วิธี
ตำแหน่งที่ 3 เหลืออักษรตัวเดียว จึงมี 1 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 3 x 2 x 1 = 6 วิธี
การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น
การเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
- สิ่งของที่จัดเรียงแตกต่างกันทั้งหมด
- สิ่งของที่จัดเรียงไม่แตกต่างกันทั้งหมด
กรณีที่ 1.1 นำมาจัดเรียงทั้งหมด
กรณีที่ 1.2 นำมาจัดเรียงบางสิ่ง
ให้อักษร 3 ตัว คือ X, Y, Z
กฎข้อ 6
จะไม่มีหัวแถวหรือท้ายแถว
ถ้ามีของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด นำมาจัดเรียงเป็นวงกลมโดยให้ของสิ่งหนึ่ง
อยู่คงที่แล้วจัดของที่เหลือจำนวน (n-1) สิ่ง จะจัดเรียงได้เท่ากับ (n-1)! วิธ
เชิงเส้น จะจัดได้ 3! = 6 วิธีคือ XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX
นิยามที่ 4.1 กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก แฟคทอเรียล n เขียนแทนด้วย n!โดยที่
สำหรับจำนวนเต็มบวก n
n! = 1 x 2 x 3 x. . . x (n – 1) x n
n! = n (n-1) ! , 0! = 1
แบ่งออกเป็น 2 ชนิด
- สิ่งของที่จัดเรียงแตกต่างกันทั้งหมด
- สิ่งของที่จัดเรียงไม่แตกต่างกันทั้งหมด
กรณีที่ 1.1 นำมาจัดเรียงทั้งหมด
กรณีที่ 1.2 นำมาจัดเรียงบางสิ่ง
กรณีที่ 1.1
นำมาเรียงสับเปลี่ยนทั้ง n สิ่ง
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด
จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นหาได้ดังนี้
ตำแหน่งที่ 1 วางสิ่งของใดๆ ใน n สิ่งก็ได้วิธีวางเท่ากับ n วิธี
ตำแหน่งที่ 2 มีวิธีวางเท่ากับ (n – 1) วิธี
ตำแหน่งที่ 3 มีวิธีวางเท่ากับ (n – 2) วิธี
ตำแหน่งที่ n เหลือของอยู่สิ่งเดียว วิธีวางเท่ากับ 1 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของทั้ง n สิ่งเท่ากับ n! วิธี
กรณีที่ 1.2
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งที่แตกต่างกันทั้งหมด
นำมาเรียงสับเปลี่ยน r สิ่ง
ตำแหน่งที่จัดเรียงจะมีเพียง r ตำแหน่ง โดย
ตำแหน่งที่ 1 วางสิ่งของใดๆ ใน n สิ่งก็ได้วิธีวางเท่ากับ n วิธี
ตำแหน่งที่ 2 มีวิธีวางเท่ากับ (n – 1) วิธี
ตำแหน่งที่ 3 มีวิธีวางเท่ากับ (n – 2) วิธี
ตำแหน่งที่ r มีวิธีวางเท่ากับ n – (r - 1) = n – r + 1 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ r สิ่งเท่ากับ n!/(n - r)! วิธ
กฎข้อ 5
จำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดแบบเชิงเส้นโดยจัด
เรียงแค่ r สิ่ง เขียนแทนด้วย Pn,r หาได้จาก
Pn,r = n ! / (n-r) !
ให้ของ n สิ่งแยกได้เป็น
สิ่งของเหมือนกันกลุ่มที่ 1 คือ n1
สิ่งของเหมือนกันกลุ่มที่ 2 คือ n2
สิ่งของเหมือนกันกลุ่มที่ k คือ nk
ดังนั้นจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนจะเท่ากับ
n ! / n 1 !n 2 ! n k วิธี
- แบ่งสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่งออกเป็น k กลุ่ม
- แบ่งสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่งออกเป็น k กลุ่ม
- เลือกสิ่งของ r สิ่งจากสิ่งของที่ต่างกันทั้งหมด n สิ่ง
เมื่อ 0 ≤ r ≤ n
โดยแต่ละกลุ่มมีจำนวนสิ่งของไม่เท่ากัน
โดยแต่ละกลุ่มมีจำนวนสิ่งของเท่ากัน
เขียนแทนด้วย C r,n หรือ n/r
n! / r!(n-r)!
n1 , n2 ,..., nk โดยที่ n1 ≠ n2 ≠ ... ≠ nk และ n1 + n2 +...+ nk = n
n! / n1!n2!n3!...nn!
n! / ((r!)^k)k!
การทดลองสุ่ม
ปริภูมิตัวอย่าง (Sample space)
ความน่าจะเป็น
เหตุการณ์
ความน่าจะเป็นมีคุณสมบัติที่สำคัญ
ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง
เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม
ใช้สัญลักษณ์ S
เซตย่อยของปริภูมิตัวอย่าง
ใช้สัญลักษณ์ E
- ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน จะได้ P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2)
- ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน จะได้ P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2)
- P(S) = 1 และ P(∅) = 0
- 0 ≤ P(E) ≤ 1
- ถ้า E เป็นเหตุการณ์ใดๆ จะได้ P( E ) + P( E' ) = 1
นิยามที่4.2
0 ≤ P(x) ≤ 1 สำหรับทุกๆ ค่าของ x ∈ S และ
การประยุกต์ใช้ฐานข้อมูลในงานทะเบียนนักศึกษา
การจัดเก็บข้อมูลและสารสนเทศ
ข้อมูลเกี่ยวกับอาจารย์ที่ปรึกษา เช่น รหัสอาจารย์ที่ปรึกษา ชื่ออาจารย์ เป็นต้น
ข้อมูลเกี่ยวกับนักศึกษา เช่น รหัสประจำตัว ชื่อ-นามสกุล รหัสวิชาเอก คณะ เป็นต้น
ข้อมูลเกี่ยวกับชุดวิชาที่ลงทะเบียน เช่น ภาคการศึกษา ปีการศึกษา รหัสชุดวิชา ชื่อชุดวิชา จำนวนหน่วยกิต ค่าลงทะเบียน เป็นต้น
การจัดเก็บข้อมูลในระบบทะเบียนราษฎร์ การเก็บสารสนเทศตามเว็บไซด์ในเครือข่ายอินเทอร์เน็ต
การพยากรณ์อากาศ ระบบเอกซเรย์คอมพิวเตอร์
หลักการนับเบื้องต้น ✅
หลักการบวก
กฎข้อ 4
การทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยวิธีการทำงาน k วิธี
จำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1+n2+...+nk วิธี
วิธีที่ k มีวิธีการทำงาน nk วิธี
วิธีที่ 2 มีวิธีการทำงาน n3 วิธี
แต่ละวิธีของการทำงานไม่เกิดซ้ำซ้อนกัน
วิธีที่ 1 มีวิธีการทำงาน n1 วิธี
กฎข้อ 3
การทำงานหนึ่งประกอบด้วยวิธีทำงาน 2 วิธี
จำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1 + n2 วิธี
วิธีที่ 2 มีวิธีการทำงาน n2 วิธี
วิธีที่ 1 มีวิธีการทำงาน n1 วิธี
แต่ละวิธีของการทำงานไม่เกิดซ้ำซ้อนกัน
หลักการคูณ
กฎข้อ 2
การทำงานหนึ่งประกอบด้วยงานย่อยหลายชนิด
จำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1n2n3...nk วิธี
ในงานชนิดที่ k-1 มีวิธีการทำงานชนิดที่ k ได้ nkวิธี
งานชนิดที่ 1 มีวิธีทำได้ n1 วิธี
ในงานชนิดที่ 2 มีวิธีการทำงานชนิดที่ 3 ได้ n3 วิธี
ในงานชนิดที่ 1 มีวิธีการทำงานชนิดที่ 2 ได้ n2 วิธี
กฎข้อ 1
การทำงานหนึ่งประกอบด้วยงานย่อย 2 ชนิด
จำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ AB วิธี
ในงานย่อยชนิดที่ 1 มีวิธีทำงานย่อยชนิดที่ 2 อีก B วิธี
งานย่อยชนิดที่ 1 ทำได้ A วิธี