Relazione: Sottoinsieme del prodotto
cartesiano tra
due insiemi
FUNZIONE
Relazione che associa ad ogni elemento
dell'insieme di partenza uno ed un solo
elemento dell'insieme di arrivo Relazione?
f:A→B⇔∀x∈A ∃! y∈B | y=f(x)
ELEMENTI
Dominio: intervallo di R nel quale esiste la variabile indipendente, l'insieme di partenza Intervallo di R?
Codominio: intervallo di R costituito dall'insieme delle immagini della variabile dipendente #
Zero della funzione: valori di x che hanno come immagine 0; sono i punti di intersezione del grafico con l'asse X
GRAFICO
Insieme di tutte e sole le coppie ordinate (dunque elementi di \(\mathbb{R}^2\)) tali che
x appartiene ad A e y è immagine di x mediante
la funzione f
Definizione testuale: \(y\) è l'immagine di \(x\) mediante la funzione \(f\) - oppure - il valore assunto dalla funzione \(f\) in \(x\)
Le funzioni possono essere...
Trascendenti
Algebriche
Intere
Frazionarie
Razionali
Razionali
Irrazionali
\(Dom = \mathbb{R}\)
\(Dom =\) intersezione tra il dominio del numeratore e il dominio del denominatore meno gli zeri del denominatore
.
Segno: riferito al segno dell'ordinata: trovare i valori di x che rendono y positiva o negativa. Praticamente una disequazione
PARI
DISPARI
Se per ogni \(x\) del dominio, \(f(x) = f(-x)\)
Simmetrica rispetto all'asse y
Se per ogni \(x\) del dominio, risulta \(f(-x) = -f(x)\)
Simmetrica rispetto all'origine
CRESCENTE
DECRESCENTE
COSTANTE
All'aumentare di x, la y aumenta
All'aumentare di x, la y diminuisce
All'aumentare di x, la y rimane costante
STRETTAMENTE CRESCENTE: \(x1 < x2 \Rightarrow f(x1) < f(x2)\)
CRESCENTE IN SENSO LATO: \(x1 < x2 \Rightarrow f(x1) ≤ f(x2)\)
STRETTAMENTE DECRESCENTE: \(x1 < x2 \Rightarrow f(x1) > f(x2)\)
CRESCENTE IN SENSO LATO: \(x1 < x2 \Rightarrow f(x1) ≥f(x2)\)
INIETTIVA
Ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A (una parabola non è iniettiva!)
SURIETTIVA
Ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A
BIIETTIVA
Sia suriettiva che iniettiva
Quindi INVERTIBILE
La funzione inversa \((f^{-1}\)) di f associa a ciascun elemento dell'immagine di f la sua unica controimmagine
Il grafico di \(f^{-1}\) è simmetrico rispetto a quello di f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (eq. \(y = x\))
Intervallo di R: sottoinsieme continuo di R
\(G = {(x, y)\space |\space x \in A, y = f(x)}\)
Irrazionali
\(Dom =\)
Indice radice dispari
D = R
Indice radice pari
Per il dominio, porre il radicando ≥ 0; \(D =\) soluzioni della disequazione
PERIODICA
Si ripete dopo un periodo \(T\)
\(f(x) = f(x + T)\)
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Le funzioni possiedono:
Massimi
Locali
Punti \(x_0\) tali che, in un intervallo \( I = (x_0-\delta, x_0+\delta)\), si ha che \(f(x_0) \ge f(x) \forall x \in I\)
Assoluti
Minimi
Assoluti
Locali
Punti \(x_0\) tali che, in un intervallo \( I = (x_0-\delta, x_0+\delta)\), si ha che \(f(x_0) \le f(x) \forall x \in I\)
Punti \(x_0\) tali che, in tutto il dominio, si ha che \(f(x_0) \le f(x) \)
Punti \(x_0\) tali che, in tutto il dominio, si ha che \(f(x_0) \ge f(x) \)