數列與級數及指數與對數

指數的定義

數列的定義

正整數指數

認識數列

數列就是把一堆數字排成一列

等差數列

是數列的一種。在等差數列中，任何相鄰兩項的差相等。該差值稱為公差

等比數列

是一種特殊數列。它的特點是：從第2項起，每一項與前一項的比都是一個常數

範例

等差數列

1，2，3，4，5，6，7 ，．．．，任意相鄰兩項的後項減前項所得的值都是1

等比數列

1，2，4，8，16，32，．．．，任意相鄰兩項的前項除後項的值都是2

級數的定義

認識級數

把數列裡各項數字”加”起來，就稱為級數

等差級數

若一等差數列有n項，首項為a1，末項為an，公差為d，若將此數列各項數字加起來，即稱為等差級數。我們通常以Sn表示此級數的值

等比級數

若一等比數列有n項，首項為a1，末項為an，公比為r，若將此數列各項數字加起來，即稱為等比級數。我們也以Sn表示此級數的值

範例

等差級數

1，2，3，4，5，6，7 ，．．．，為一公差為1的等差數列，若將此數列各項數字加起來，即為公差為1的等差級數

等比級數

1，2，4，8，16，32，．．．，為一公比為2的等比數列，若將此數列各項數字加起來，即為公比為2的等比級數

設a為一實數，n為一正整數，為應用方便起見，當n個 a自乘時，我們則以符號an來表示

零指數

若a為非零的實數(a≠0)，則a0=1

負指數

若a為非零的實數(a≠0)，n為正整數

根號

設n為正整數，滿足xn=a的x，稱為a之n次方根

當a<0，且n為偶數時，a之n次方根不存在

有理指數

m,n為正整數，規定

此外，若指數為負數時，規定

指數律

a, b, m, n為任意實數且a>0, b>0，則下列性質成立

對數函數的定義

設a>0且a≠1，對任意正數y來說，若y=ax，則x稱為y以a為底的對數，用符號loga y表示。即

對數的基本性質

1.對任意x，loga ax=x
2.對任意y>0，alogay=y
3.對數函數的x截距為1，即loga 1=0，但無y截距

設0<a≠1，x,y>0，則下列各式成立

換底公式

設0<a≠1，0<b≠1，c>0，則

換底公式的延伸