數列與級數及指數與對數

指數的定義

數列的定義

正整數指數

認識數列

數列就是把一堆數字排成一列

等差數列

是數列的一種。在等差數列中,任何相鄰兩項的差相等。該差值稱為公差

等比數列

是一種特殊數列。它的特點是:從第2項起,每一項與前一項的比都是一個常數

範例

等差數列

1,2,3,4,5,6,7 , . ..,任意相鄰兩項的後項減前項所得的值都是1

等比數列

1,2,4,8,16,32,. ..,任意相鄰兩項的前項除後項的值都是2

級數的定義

認識級數

把數列裡各項數字”加”起來,就稱為級數

等差級數

若一等差數列有n項,首項為a1,末項為an,公差為d,若將此數列各項數字加起來,即稱為等差級數。我們通常以Sn表示此級數的值

等比級數

若一等比數列有n項,首項為a1,末項為an,公比為r,若將此數列各項數字加起來,即稱為等比級數。我們也以Sn表示此級數的值

範例

等差級數

1,2,3,4,5,6,7 , . ..,為一公差為1的等差數列,若將此數列各項數字加起來,即為公差為1的等差級數

等比級數

1,2,4,8,16,32,. ..,為一公比為2的等比數列,若將此數列各項數字加起來,即為公比為2的等比級數

設a為一實數,n為一正整數,為應用方便起見,當n個 a自乘時,我們則以符號an來表示

零指數

若a為非零的實數(a≠0),則a0=1

負指數

若a為非零的實數(a≠0),n為正整數

根號

設n為正整數,滿足xn=a的x,稱為a之n次方根

當a<0,且n為偶數時,a之n次方根不存在

有理指數

m,n為正整數,規定

此外,若指數為負數時,規定

指數律

a, b, m, n為任意實數且a>0, b>0,則下列性質成立

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對數函數的定義

設a>0且a≠1,對任意正數y來說,若y=ax,則x稱為y以a為底 的對數,用符號loga y表示。即

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對數的基本性質

1.對任意x,loga ax=x
2.對任意y>0,alogay=y
3.對數函數的x截距為1,即loga 1=0,但無y截距

設0<a≠1,x,y>0,則下列各式成立

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換底公式

設0<a≠1,0<b≠1,c>0,則

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換底公式的延伸

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