Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Transformaciones lineales (Núcleo o Kernel (está formado por el conjunto…
Transformaciones lineales
es una función entre espacios vectoriales, es decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro.
Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación
lineal T de V en W (T : V 7→ W) es una funci´on que satisface las siguientes condiciones:
T(u + v) = T(u) + T(v), para cada u, v ∈ V .
T(λu) = λT(u), para cada u ∈ V y para cada escalar (real) λ.
Núcleo o Kernel
está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
Sea T : V 7→ W una transformaci´on lineal. El nucleo
(o Kernel) de T, es el conjunto de todos los vectores u ∈ V tales que T(u) = 0
Se denota
por ker T o nu T
Nulidad
Si ker T es de dimensión finita, ´esta se denomina nulidad de T y
se denota por ν(T). Es decir, ν(T) = dim(ker T)
Imagen
Sea T : V 7→ W una transformacion lineal. La imagen de T, es el
conjunto de todos los vectores w de W que son im´agenes, bajo T, de vectores de V . Esto es,
106 Cap´ıtulo 6. Transformaciones lineales
w est´a en la imagen de T si existe un u ∈ V tal que T(u) = w
Rango
Si im T es de dimension finita, ´esta se denomina el rango de T y se
denota por ρ(T). Es decir, ρ(T) = dim(im T)
Teorema de la dimensión
. Si V es un espacio vectorial de dimensión n y
T : V 7→ W es una transformación lineal
ν(T) + ρ(T) = n
Matrices semejantes
. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. A y
B son semejantes o similares , si existe una matriz invertible C tal que B = C
−1AC.
Matrices diagonalizables
Sea A una matriz n × n. A es diagonalizable,
si A es semejante con una matriz diagonal. Es decir, existe una matriz invertible P tal que
D = P^− 1AP ,
donde D es una matriz diagonal.
Diagonalizacion ortogonal
Se dice que una matriz An×n es diagonalizable
ortogonalmente, si existe una matriz ortogonal Q tal que
D = Q^T AQ,
D = diag (λ1, λ2, . . . , λn); λ1, λ2 , . . . , λn son los n valores propios de A.
Q = (u1 u2. . . un) ; u1, u2, . . . , un son vectores n propios ortonormales de A.