В области рациональных чисел существуют сечения типа «пробел» - сечения, в нижнем и верхнем классах которых отсутствуют соответственно наибольшее и наименьшее число (это объективный факт: мы можем привести пример, напр. сечение, определяющее корень из двух). Иррациональное число – это то самое «пограничное» число, которое по определению искусственно помещается между всеми рациональными числами из классов A и A’.
Итак, что такое иррациональное число? Это число, которое находится между всеми рациональными числами из классов A и A’ в сечении типа «пробел» (и никакое другое). Видим сечение типа «пробел» - значит видим и иррациональное число в середине между двумя классами данного сечения. Видим иррациональное число – автоматически видим сечение типа «пробел», им определяемое. Таким образом, каждое сечение типа «пробел» в области рациональных чисел определяет некоторое иррациональное число. И наоборот, каждому иррациональному числу можно поставить в соответствие некоторое сечение типа «пробел» в области рациональных чисел.
