Иррациональные числа (I)
Конструирование
Определение
иррационального
числа
Сечение в области
рациональных чисел
Дополнительные факты
Мы будем строить иррациональные числа из рациональных (конструктивный подход). Множество рациональных чисел со всеми их свойствами считается заданным. Изложим теорию Дедекинда, в основе которой лежит понятие сечения в области рациональных чисел.
Определение
сечения
Сечением называют такое разбиение области рациональных чисел на 2 множества A и A’, при котором выполняются следующие условия:
1. A ≠ ∅ ⋀ A’≠ ∅
(оба множества непустые, т.е. каждое содержит по крайней мере один элемент)
2. A ∪ A’ = ℚ
(каждое рациональное число попадает хотя бы в одно [и только в одно - см. следствие 1] из множеств)
3. (∀ a∈A,∀ a'∈A' ) a<a'
(каждое число a множества A меньше каждого числа a’ множества A’)
Множество A называется нижним классом
Множество A’ называется верхним классом
Следствия
Классы не пересекаются
Виды сечений
(4 логических варианта)
Пробел: не существует ни наибольшего
в классе A, ни наименьшего в классе A’
В A есть наибольшее, в A' нет
наименьшего рац. числа
В A нет наибольшего, в A' есть
наименьшее рац. число.
Скачок: одновременно есть наименьшее
в классе A и наибольшее в классе A’ (это лишь
логическая возможность - таких сечений в области
рациональных чисел не существует по причине
плотности последней)
Классы упорядоченны
Следствие 1: A ∩ A’=∅
Доказательство:
МОП: ∃ q∈Q: A ∩ A’= q ⇒ q<q (по условию 2) ⊥
Следствие 2.1: (∀ b<a) b ∈ A [a∈A, a'∈A']
Доказательство:
МОП: ∃ q∈ ℚ: q<a ⋀ q∈ A’ (a ∈ A) ⇒ q > a (по определению) ⊥
Следствие 2.2: (∀ b’>a’) b’ ∈ A’ (a∈A,∀ a'∈A')
Доказательство:
МОП: ∃ q'∈ ℚ: q'>a’ ⋀ q'∈A (a'∈ A) ⇒ q’<a’ (по определению) ⊥
A = {a: a∈ℚ ⋀ a<1} и A’ = {a’: a’∈ℚ ⋀ a’≥1}
Получилось сечение в области рациональных чисел (3 условия)
В A нет наибольшего, т.к.
(∀ a∈A ∃ c∈ℚ: a<c<1 [по свойству плотности рац. чисел] ⇒ c∈A)
A = {a: a∈ℚ ⋀ a≤1} и A’ = {a’: a’∈ℚ ⋀ a’>1}
Получилось сечение в области рациональных чисел (3 условия)
В A’ нет наибольшего, т.к.
(∀ a’∈A’ ∃ c∈ℚ: 1<c<a’ [по свойству плотности рац. чисел] ⇒ c’∈A’)
A = {a∈ℚ: (a≤0) ⋁ (a>0 ⋀ <2)} и A’ = {a∈ℚ: a>0 ⋀ >2}
В области рациональных чисел существуют сечения типа «пробел» - сечения, в нижнем и верхнем классах которых отсутствуют соответственно наибольшее и наименьшее число (это объективный факт: мы можем привести пример, напр. сечение, определяющее корень из двух). Иррациональное число – это то самое «пограничное» число, которое по определению искусственно помещается между всеми рациональными числами из классов A и A’.
Итак, что такое иррациональное число? Это число, которое находится между всеми рациональными числами из классов A и A’ в сечении типа «пробел» (и никакое другое). Видим сечение типа «пробел» - значит видим и иррациональное число в середине между двумя классами данного сечения. Видим иррациональное число – автоматически видим сечение типа «пробел», им определяемое. Таким образом, каждое сечение типа «пробел» в области рациональных чисел определяет некоторое иррациональное число. И наоборот, каждому иррациональному числу можно поставить в соответствие некоторое сечение типа «пробел» в области рациональных чисел.
Каждое из первых двух видов сечений (с наибольшим/наименьшим числом в одном из классов) определяет некоторое (единственное) рациональное число.
Для любого рационального числа q существует два определяющих его сечения: все a<q принадлежат A, все a>q принадлежат A’. Само же число q можно произвольно включить либо в верхний класс, либо в нижний. Для определенности, говоря о сечении, определяющем рациональное число, его включают в верхний класс.
Для иррациональных чисел не вводятся никакие однотипные конечные обозначения. Индивидуально заданные иррациональные числа обозначают в зависимости от их происхождения и роли.