Begrepp

Öppna

Slutna

Begränsade

Varken öppna eller slutna

Kompakta

Sluten och begränsad

Koordinatsystem - parametsering

Polära koordinater

y = y + brsin£

Cylindriska

x = r cos£

y = r sin £

z = z

Rymdpolära / sfäriska

0 <- @ <- π

0 <- £ <- 2π

z = r cos@

x = r sin@ cos£

y = r sin@ sin£

Tips

Sätt x,y,z till konstant

Kvadratkompletera

Byt koordinater

Gränsvärden

Räkna ut dirket

Byt koordinatsystem

Gränsvärdet finns kanske inte -> Hitta två olika riktningar som ger olika tal.

Kontinuitet

Funktionen måste finnas

Gränsvärden måste finnas.

Funktion = gränsvärde

ALLA MÅSTE UPPFYLLAS

Gradient

Är ortogonal mot nivåkorvor

Deriverbar <-> kontinuerlig

∇ f(a,b) = f'x(a,b), f'y(a,b)

Tangetplan

z = f(a,b) + f'x(a,b)(x-a) + f'y(a,b)(y-b)

x = x + arcos£

hitta u, v ... and f(ulv)

Räkna ut fx fy

Subsitut till ODE och förenkla

Beräkna ODE

Skriv SOL x, y

Riktnings derivata

ÄR störst när v och ∇ f är parallella

f'v(a,b) = ∇ f(a,b) v

F har maximal tillväxthastighet i gradientens riktning. Sats 4.7

∇ f(a,b) = 0

Stationärpunkter

Vektor

Lutning

v måste vara ortogonoal dvs ha längd 1

Ju längre abs∇ f(a,b) är desto snabbare tillväxt.

Taylor

Optimering

Kompakta områden

Icke kompakta område

Vet ej om max/min finns

Största och minsta värde finns alltid

  1. Inre: Hitta alla inre stationära punkter
  1. Randen: hitta alla max/min punkter i randen
  1. Jämför hittade punkter för att hitta max/min.

Genom Lokal Undersökning

Vet inte om största och minsta värde finns.

f(a+h,b+k)= f(a,b)+h f'x (a,b)+k f'y (a,b) + 1/2! (h^2 f''xx(a,b) + 2hk f''xy (a,b) + k^2 f''yy (a,b)

Differentialer

df = f'u u x + f'v u v

df = f'u u y + f'v u y

Lokala undersökningar

Kvadratisk formeln: Q(h,k) = Ah^2 + 2Bhk + Ck^2

Q(h,k) > 0

Q(h,k) < 0

Pos def

Neg def

Q(h,k) > =

Pos semi def

Q(h,k) < =

Neg semi def

Q(h,k) + -

Indefinitv

min

max

ingen

ingen

saddel

A = f''xx C = f''yy B = f''xy

HUr mycket f växer i gradientens riktning

v = ∇ f då frå f'v = lutning mot ∇ f

Räkna ut f'x=0

Använd x och y-värdena till f'y och kontroller vilka som är giltiga.

Svara (a,b)

  1. Randen av randen

Le Hopital - L.H

0/0

Inf/inf

Derivatan/derivatan

Lagrange Multipliers Metod

∇ f//∇ g

Största & minsta

g = bivilkor

f'x = a g'x
f'y = a g'y
g(x,y) = C

f'x f'y
0 =
g'x g'y

Vektorvärda funktioner

Kurva: r(t) = (x(t), y(t), z(t))

Yta: r(t,s) = (x(t), y(t,s), z(t,s))

R ➡ R^3

R^2➡R^3

Normal = u x v

Funktional matris

Samlar ihop partiella derivatorna för en vektorvärd funktion

Deriverar vektorerna och sätter in i matris

Funktionaldeterminant

Tar determinanten av funktional matris + inversa funk och bijektiv.

Beräknar förändringen av area el volym.

Nästan en linjär avbildning = f(a+h)-f(a)

Om det INTE = 0 finns det en linjär avbildning

Invers funk & bijektiv

Bivillkor

Extra ting att kontrollera

Minsta avstånd: Roten ur x^2 + y^2

Går även att ta ^2 och få reda på samma x och y värden.

Skärning mellan sfär och plan = kompakt dvs störst och minst finns.

Två skärningspunkter = inga hörn.

Linjärt beroende = parallella

Implicita funktioner

En yta i R3 på parameterform är en funktion.

Derivatan ger en tangentvektor till kurvan.

Y = "inte klar" ex y=y^3 + x^3

Explicit = funktion "klar" ex y = 1 + x^2

Tangent = ej lodrät

Lodrät

Sats 6.2

Om f'y(a,b) INTE = 0

Implicit derivering f'(a,b) = värde

Kom ihåg derivator

Cos ^ 2 = 1+ cos 2@ / 2

Sin ^ 2 = 1 - cos 2@ / 2

Jämförelsesatsen

Divergent

Konvergent

oändlighet

Generaliserade integral

Skapa snitt

Snitten,Dk,är begränsade

Dk --> D då k--> ∞ snittet går mot noll

f(x,y) är begränsad i samtliga snitt

I

Obegrändst område D

Obegränsat funktion f

Cirkel --> byt till polära

(x-1)^2 / x+1 Polynomdivision

Variabelbyte

determinant dx/du

Om det är en enkelintegral som inte går att lösa, gör det till en dubbel integral genom att ta integralen multiplicerat mied en en symmetrisk integral, dvs likadan, men ändra variabeln till en annan.

0 < = f(x,y) <= g(x,y)

Integralen av g(x,y) konv --> hela konv

f(x,y) divergerar --> hela divergera

Massa

Platta

Kropp

Massa = densitet * area(dxdy)

Massa = densitet * volym(dxdydz)

0 <- r <- 2

Kolla polynom div

Används endast vid klot.

Tyngdpunk/masscentrum

1/M * ∫ x dm

Homogen = konstant densitet, dvs påverkar inte uträkningen.

Tröghetsmoment

Arbete = kraften * sträckan

Kurvintegral

Positivt led: 0--> 2π

Negativt led: 2π --> 0

Green's formel

Byter håll = neg integral γ

Krav

Pos. orienterad

Omsluten D

P, Q måste vara def i D

∫∫D = ∫& + ∫&2

γ

Kontrollera först ∫∫D

Area enligt Green

∫ ∫ i dxdy

∫ x dy

∫ -y dx

0,5 ∫-ydx + xdy

Måste vara omsluten.

Beror på orientering av kurvorna.

Potential

Gäller endast

  • enkelsammanhängade

Konservativ fält + potential fält

Behöver inte var sluten.

Enkelsammanhängande områden = inga hål

Enkelsammanhängande områden = inga hål

0 =

Differentialform = Pdx + Qdy

click to edit