Begrepp
Öppna
Slutna
Begränsade
Varken öppna eller slutna
Kompakta
Sluten och begränsad
Koordinatsystem - parametsering
Polära koordinater
y = y + brsin£
Cylindriska
x = r cos£
y = r sin £
z = z
Rymdpolära / sfäriska
0 <- @ <- π
0 <- £ <- 2π
z = r cos@
x = r sin@ cos£
y = r sin@ sin£
Tips
Sätt x,y,z till konstant
Kvadratkompletera
Byt koordinater
Gränsvärden
Räkna ut dirket
Byt koordinatsystem
Gränsvärdet finns kanske inte -> Hitta två olika riktningar som ger olika tal.
Kontinuitet
Funktionen måste finnas
Gränsvärden måste finnas.
Funktion = gränsvärde
ALLA MÅSTE UPPFYLLAS
Gradient
Är ortogonal mot nivåkorvor
Deriverbar <-> kontinuerlig
∇ f(a,b) = f'x(a,b), f'y(a,b)
Tangetplan
z = f(a,b) + f'x(a,b)(x-a) + f'y(a,b)(y-b)
x = x + arcos£
hitta u, v ... and f(ulv)
Räkna ut fx fy
Subsitut till ODE och förenkla
Beräkna ODE
Skriv SOL x, y
Riktnings derivata
ÄR störst när v och ∇ f är parallella
f'v(a,b) = ∇ f(a,b) v
F har maximal tillväxthastighet i gradientens riktning. Sats 4.7
∇ f(a,b) = 0
Stationärpunkter
Vektor
Lutning
v måste vara ortogonoal dvs ha längd 1
Ju längre abs∇ f(a,b) är desto snabbare tillväxt.
Taylor
Optimering
Kompakta områden
Icke kompakta område
Vet ej om max/min finns
Största och minsta värde finns alltid
- Inre: Hitta alla inre stationära punkter
- Randen: hitta alla max/min punkter i randen
- Jämför hittade punkter för att hitta max/min.
Genom Lokal Undersökning
Vet inte om största och minsta värde finns.
f(a+h,b+k)= f(a,b)+h f'x (a,b)+k f'y (a,b) + 1/2! (h^2 f''xx(a,b) + 2hk f''xy (a,b) + k^2 f''yy (a,b)
Differentialer
df = f'u u x + f'v u v
df = f'u u y + f'v u y
Lokala undersökningar
Kvadratisk formeln: Q(h,k) = Ah^2 + 2Bhk + Ck^2
Q(h,k) > 0
Q(h,k) < 0
Pos def
Neg def
Q(h,k) > =
Pos semi def
Q(h,k) < =
Neg semi def
Q(h,k) + -
Indefinitv
min
max
ingen
ingen
saddel
A = f''xx C = f''yy B = f''xy
HUr mycket f växer i gradientens riktning
v = ∇ f då frå f'v = lutning mot ∇ f
Räkna ut f'x=0
Använd x och y-värdena till f'y och kontroller vilka som är giltiga.
Svara (a,b)
- Randen av randen
Le Hopital - L.H
0/0
Inf/inf
Derivatan/derivatan
Lagrange Multipliers Metod
∇ f//∇ g
Största & minsta
g = bivilkor
f'x = a g'x
f'y = a g'y
g(x,y) = C
f'x f'y
0 =
g'x g'y
Vektorvärda funktioner
Kurva: r(t) = (x(t), y(t), z(t))
Yta: r(t,s) = (x(t), y(t,s), z(t,s))
R ➡ R^3
R^2➡R^3
Normal = u x v
Funktional matris
Samlar ihop partiella derivatorna för en vektorvärd funktion
Deriverar vektorerna och sätter in i matris
Funktionaldeterminant
Tar determinanten av funktional matris + inversa funk och bijektiv.
Beräknar förändringen av area el volym.
Nästan en linjär avbildning = f(a+h)-f(a)
Om det INTE = 0 finns det en linjär avbildning
Invers funk & bijektiv
Bivillkor
Extra ting att kontrollera
Minsta avstånd: Roten ur x^2 + y^2
Går även att ta ^2 och få reda på samma x och y värden.
Skärning mellan sfär och plan = kompakt dvs störst och minst finns.
Två skärningspunkter = inga hörn.
Linjärt beroende = parallella
Implicita funktioner
En yta i R3 på parameterform är en funktion.
Derivatan ger en tangentvektor till kurvan.
Y = "inte klar" ex y=y^3 + x^3
Explicit = funktion "klar" ex y = 1 + x^2
Tangent = ej lodrät
Lodrät
Sats 6.2
Om f'y(a,b) INTE = 0
Implicit derivering f'(a,b) = värde
Kom ihåg derivator
Cos ^ 2 = 1+ cos 2@ / 2
Sin ^ 2 = 1 - cos 2@ / 2
Jämförelsesatsen
Divergent
Konvergent
oändlighet
Generaliserade integral
Skapa snitt
Snitten,Dk,är begränsade
Dk --> D då k--> ∞ snittet går mot noll
f(x,y) är begränsad i samtliga snitt
I
Obegrändst område D
Obegränsat funktion f
Cirkel --> byt till polära
(x-1)^2 / x+1 Polynomdivision
Variabelbyte
determinant dx/du
Om det är en enkelintegral som inte går att lösa, gör det till en dubbel integral genom att ta integralen multiplicerat mied en en symmetrisk integral, dvs likadan, men ändra variabeln till en annan.
0 < = f(x,y) <= g(x,y)
Integralen av g(x,y) konv --> hela konv
f(x,y) divergerar --> hela divergera
Massa
Platta
Kropp
Massa = densitet * area(dxdy)
Massa = densitet * volym(dxdydz)
0 <- r <- 2
Kolla polynom div
Används endast vid klot.
Tyngdpunk/masscentrum
1/M * ∫ x dm
Homogen = konstant densitet, dvs påverkar inte uträkningen.
Tröghetsmoment
Arbete = kraften * sträckan
Kurvintegral
Positivt led: 0--> 2π
Negativt led: 2π --> 0
Green's formel
Byter håll = neg integral γ
Krav
Pos. orienterad
Omsluten D
P, Q måste vara def i D
∫∫D = ∫& + ∫&2
γ
Kontrollera först ∫∫D
Area enligt Green
∫ ∫ i dxdy
∫ x dy
∫ -y dx
0,5 ∫-ydx + xdy
Måste vara omsluten.
Beror på orientering av kurvorna.
Potential
Gäller endast
- enkelsammanhängade
Konservativ fält + potential fält
Behöver inte var sluten.
Enkelsammanhängande områden = inga hål
Enkelsammanhängande områden = inga hål
0 =
Differentialform = Pdx + Qdy
click to edit
