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DIVISIONE TRA POLINOMI E SCONPOSIZIONE IN FATTORI (SCOMPOSIZIONE IN…
DIVISIONE TRA POLINOMI E SCONPOSIZIONE IN FATTORI
DIVISIBILITÀ: un polinomio A è divisibile per un polinomio B, non nullo, se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà A.
SE IL DIVISORE È UN MONOMIO: un polinomio è divisibile per un monomio non nullo se e solo se lo è ognuno dei suoi termini.
SE IL DIVISORE È UN POLINOMIO: Dati i polinomi A (x) e B (x), con B non nullo e con grado di Bminore e uguale grado di A, esistono sempre e soltanto due polinomi Qx) e R (x) tali che.
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E RACCOGLIMENTO:
Un polinomio è:
Riducibile se possiamo scomporlo in fattori, ciascuno di grado inferiore al suo.
Irriducibile in caso contrario.
RACCOGLIMENTO TOTALE: il raccoglimento totale è un metodo di scomposizione che si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione. Applicando questa proprietà, procediamo in senso inverso rispetto a quando moltiplichiamo un monomio per un polinomio o quando moltiplichiamo due polinomi.
12a
3--6a
2b
2+9ab = 3a (4a
2--2ab*2+3b)
RACCOGLIMENTO PARZIALE:
3ax+3bx+ay+by = (a+b)(3×+y)
TRINOMIO SPECIALE:
x*2+5x+6 = (×+2)(×+3)
SCOMPOSIZIONE CON I PRODOTTI NOTEVOLI: possiamo scomporre un polinomio in fattori se riusciamo a ricondurla a uno dei prodotti notevoli che conosciamo.
QUADRATO DI UN BINOMIO:
a
2+|--2ab+b
2 = (a+|--b)*2
DIFFERENZA DI QUADRATI:
a
2--b
2 = (a+b)(a--b)
CUBO DI UN BINOMIO:
a
3+|--3a
2b+3ab
2+|--b
3 = ( a+|--b)*3
QUADRATO DI UN TRINOMIO:
a
2+b
2+c
2+2ab+2ac+2bc = ( a+b+c)
2
DIFFERENZA DI CUBI:
a
3--b
3 = (a--b)(a
2+ab+b
2)
SOMMA DI CUBI:
a
3+b
3 = ( a+b)(a
2--ab+b
2)
MCD E mcm DI POLINOMI:
Massimo comune divisore di due o più polinomi un polinomio che divide tutti i polinomi e il grado massimo possibile.
Minimo comune multiplo di due o più polinomi un polinomio che è divisibile per tutti polinomi e ha il grado minimo possibile.
TEOREMA DEL RESTO, TEOREMA DI RUFFINI
TEOREMA DEL RESTO: Il resto R della divisione P (x)÷(x--a) si ottiene sostituendo a nella variabile x del polinomio:
R = P (a)
(5x
2+6x--8)÷(x--2); se a x sostituiamo 2, otteniamo il resto:
P (2) = 5 (2)
2+6(2)--8 = 24
TEOREMA DI RUFFINI: Un polinomio P(x)è divisibile per x--a se e solo se P (a) = 0
P (x) = x
4--2x
3 è divisibile per x--2 ?
P (2) = 2
4--2•2
3 = 0
P (x) è divisibile per x--2
SCOMPORRE CON IL METODO DI RUFFINI: possiamo anche scomporre in fattori un polinomio P(x) seguendo il metodo di Ruffini:
cerchiamo uno zero razionale a del polinomio
se lo troviamo dividiamo P(x) per x--a con la regola di Ruffini, ottenendo il quoziente Q (x) e come resto 0 scriviamo la scomposizione: P(x) = (x--a)•Q (x)