Determinantes
Es un numero que tiene toda matriz cuadrada
se denota
por det(A) o bien por |A|.
cuando n=1
determinante = a11
cuando n =2
determinante = a11 · a22 - a12 · a21
cuando n =3
a11 · a22 · a33 + a21 · a32 · a13 + a31 · a23 · a12 -
a13 · a22 · a31 - a23 · a32 · a11 - a33 · a21 · a12
la regla de Sarrus
es un buen recurso para cálculo de
determinantes de orden 3
cuando n>3
se utiliza el concepto de adjunto de un elemento
denotado Aij
Proposición
se puede calcular el determinante de una matriz cuadrada
A a partir de los adjuntos de una fila o de una columna
Desarrollo por adjuntos de la fila i
Desarrollo por adjuntos de la columna j
|A| = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain · Ain
|A| = a1j • A1j + a2j • A2j + ... + anj • Anj
Propiedades
El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta
Si se parte de un determinante inicial y se intercambian de posición
dos líneas (dos filas o dos columnas), el valor del nuevo determinante
no cambia en valor absoluto, pero sí en signo.
Si un determinante tiene dos líneas iguales o proporcionales,
su valor es 0.
Si un determinante tiene una línea (fila o columna) toda de ceros, su
valor es 0.
Multiplicar un determinante por un número es equivalente a multiplicar
cualquier línea (fila o columna) por dicho número.
Si todos los elementos de una línea (fila o columna) están formados
por dos sumandos, dicho determinante se puede descomponer como
suma de dos determinantes
Si los elementos de una línea (fila o columna) son combinación lineal
de las otras, entonces el determinante vale 0.
Si a los elementos de una línea se le suman los elementos
de otra línea previamente multiplicados por un número, el valor
del determinante no varía. Análogamente, por extensión, si a una
línea se le suma una combinación lineal de las otras.
El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes
de cada una de ellas