式と曲線
2次曲線
放物線
定義
定直線lとl上にない定点Fからの距離が等しい点Pの軌跡
標準形
\( y^2 = 4px \)
\( x^2 = 4qy \)
\( 焦点 \mathrm{F}(0,q) \)
\(準線l \, : y = -q \)
\(焦点 \mathrm{F} (p,0) \)
\( 準線l \, : y= -p \)
\( \mathrm{PF = PH} \)
楕円
双曲線
定義
\( 異なる2点\mathrm{F, F'} からの距離の和が一定である点\mathrm{P}の軌跡 \)
\( \mathrm{ PF + PF' = 2a} \)
\( 0 < c < a \)
\( \triangle \mathrm{PFF'} の成立条件 \)
標準形
\( \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( b = \sqrt{a^2 - c^2} \)とおいた
\( 焦点F(c,0), F'(-c,0) \)
\( a > b > 0 \)
円と楕円
楕円は円 \( x^2 + y^2 = a^2 を \, y \, 軸方向に \dfrac{a}{b} 倍に拡大縮小したもの \)
定義
\( 異なる2定点 \mathrm{F, F'} からの距離の差が0でない一定値である点\mathrm{P} の軌跡 \)
\( | \mathrm{PF - PF'} | = 2a \)
\( c > a > 0 \)
標準形
\( \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
\( b = \sqrt{a^2 - c^2} \)とおいた
\( 焦点F(c,0), F'(-c,0) \)
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( 頂点 ( \pm a,0 ) \)
\( 漸近線 \dfrac{x}{a} \pm \dfrac{y}{b}\)
2次曲線と直線
共有点
連立方程式から求める
判別式を用いる
接線の方程式
標準式を微分すると求まる
放物線
\( y_1 y = 2p (x + x_1) \)
楕円
双曲線
\( \dfrac{x_1 x}{a^2 }- \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1 \)
\( \dfrac{x_1 x}{a^2 } + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1 \)
2次曲線と離心率
離心率
\( 点\mathrm{P} から定点\mathrm{H} への距離\mathrm{PF} と，\\ 定直線(準線) l への距離 \mathrm{PH} の比の値 \)
\( e = \dfrac{PF}{PH} \)
点Pの軌跡
\( 0 < e < 1 \)
\( e = 1 \)
\( e > 1 \)
媒介変数表示
極座標
放物線