Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

6 Phase Plane (Conservative Systems (Volume-conserving systems (Om …

- - - - Center är vanligtvis delikata men som visades i exemplet är de mycket mer robusta när systemet är konservativt. Följande är en sats om ickelinjära center i second-order conservative systems. Säger att center sker i det lokala minimumet av energifunktionen.
        
        Theorem 6.5.1 (Nonlinear centers for conservative systems)
        Vi har systemet
        \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\) med \(\mathbf{x}=(x,y)\in\mathbf{R}^{2}\), där \(\mathbf{f}\) är kont. deriverbar.
        Antag att det finns en konserverad kvantitet \(E(\mathbf{x})\) och antag att \(\mathbf{x}^{*}\) är en isolerad FP (i.e. det finns inga andra FPs i ett litet grannskap runt det).
        Om \(\mathbf{x}^{*}\) är ett lokalt minimum av E så är alla trajectories tillräckligt nära \(\mathbf{x}^{*}\) closed.
        
        Idéer bakom
        
        Eftersom E är konstant på banor så är varje bana i någon kontur av E. Nära ett lokalt maximum eller minimum så är konturerna stängda.
        Den enda återstående frågan är huruvida banan faktiskt går hela vägen runt konturen eller om den stannar i en FP på konturen. Men vi antar att \(\mathbf{x}^{*}\) är en isolerad FP, så det kan ju inte finnas några FPs på konturer tillräckligt nära \(\mathbf{x}^{*}\). Därav är alla banor i ett tillräckligt litet grannskap av \(\mathbf{x}^{*}\) closed orbits, och därför är \(\mathbf{x}^{*}\) ett center.
        
        Två remarks
        
        Satsen är valid även för lokala maxima av E. (Bara att ersätta funktionen E med -E)
        
        Vi behöver anta att \(\mathbf{x}^{*}\) är isolerat. Annars finns motexempel pga FPs på energikonturen.
- - - - Theorem 6.8.1
        Om en closed curve C innestänger n isolerade FPs \(\mathbf{x}_{1}^{*},\ldots,\mathbf{x}_{n}^{*}\) så är
        \(I_{C}=I_{1}+I_{2}+\ldots+I_{n}\)
        där \(I_{k}\) är indexet av \(\mathbf{x}_{k}^{*}\) för \(k=1,\ldots n\).
        
        Ideer bakom
        Påminner om Gauss lag med cancelleringen.
        Tänk på C som en ballong, sug ut det mesta av luften. Resultatet av denna deformation är en ny closed curve \(\Gamma\), bestående av n små cirklar \(\gamma_{1},\ldots,\gamma_{n}\) kring FP:na och two-way bridges som kopplar ihop cirklarna.
        Notera att \(I_{\Gamma}=I_{C}\) enligt 1 # eftersom inga FPs korsades under deformationen.
        Låt oss nu beräkna \(I_{\Gamma}\) genom att titta på \([\phi]_{\Gamma}\). Det finns bidrag till \([\phi]_{\Gamma}\) från de små cirklarna och från two-way-bryggorna.
        Nyckelpoängen är att bidragen från bryggorna tar ut varandra: när vi går runt \(\Gamma\) traverseras varje brygga en gång i en riktning och sen senare i motsatt riktning. Alltså behöver vi bara titta på bidragen från cirklarna. På \(\gamma_{k}\) ändras vinkeln \(\phi\) med \([\phi]_{\gamma_{k}}=2\pi I_{k}\) per definition av \(I_{k}\). Därav är
        \(I_{\Gamma}=\frac{1}{2\pi}[\phi]_{\Gamma}=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{n}[\phi]_{\gamma_{k}}=\sum_{k=1}^{n}I_{k}\)
        och eftersom \(I_{\Gamma}=I_{C}\) så är vi klara.
      - Theorem 6.8.2
        Vilken (riktig) closed orbit som helst i fasplanet måste innestänga FPs vars indexar summerar till +1.
        Bevis
        Låt C vara the closed orbit. Från egenskap 4 # är \(I_{C}=+1\). Då implicerar sats 6.8.1 # att \(\sum_{k=1}^{n}I_{k}=+1\)
        
        Har många praktiska konsekvenser. Implicerar t.ex. att det alltid finns minst en FP inuti en closed orbit i fasplanet. Om det bara finns en FP inuti så kan det inte vara en saddle point.
        Dessutom kan satsen ibland användas för att utesluta möjligheten av closed trajectories, som visades i exempel som den med rabbit vs. sheep, där ingen av de kvantitativt olika möjliga kurvorna är möjliga:
- - - - Är inte samma sak som konservativa system, men har många gemensamma egenskaper, center är till exempel robusta även i dessa system.
        
        Theorem 6.6.1 (Nonlinear centers for reversible systems)
        Antag att origo \(\mathbf{x}^{*}=\mathbf{0}\) är ett linjärt center för kont. deriverbara systemet
        \(\dot{x}=f(x,y)\)
        \(\dot{y}=g(x,y)\)
        och antag att systemet är reversibelt.
        Då är alla banor som är tillräckligt nära origo closed curves.
        
        Idéer bakom
        
        Titta på en bana som startar på positiva x-axeln nära origo.
        
        Sufficiently near the origin, the flow swirls around the origin, thanks to the dominant influence of the linear center, and so the trajectory eventually intersects the negative x-axis. (This is the step where our proof lacks rigor, but the claim should seem plausible) Now we use reversibility. By changing the trajectory across the x-axis, and changing the sign of t, we obtain a twin trajectory with the same endpoints but with its arrow reversed.
        
        Together the two trajectories form a closed orbit, as desired. Hence all trajectories sufficiently close to the origin are closed.
      - Det finns en mer generell definition av reversibilitet which extends nicely to higher-order systems.
        Vi tittar på en vilken som helst mapping \(R(\mathbf{x})\) av phase space till sig själv som uppfyller \(R^{2}(\mathbf{x})=\mathbf{x}\). Med andra ord, om mappingen appliceras två gånger så kommer alla punkter tillbaka dit de startade.
        Då är systemet \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\) reversibelt om det är invariant under variabelsubstitutionen \(t\rightarrow-t,\quad\mathbf{x}\rightarrow\mathbf{R}(\mathbf{x})\)
        
        Ex.
        
        invariant under variabelbytet \(t\rightarrow-t,\quad x\rightarrow-x,\quad y\rightarrow-y\),
        alltså reversibelt, med \(R(x,y)=(-x,-y)\)
- - - - så finns en lösning \(\mathbf{x}(t)\) i något tidsintervall \((-\tau,\tau)\) kring t=0, och lösningen är unik
- - - - \(A=\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{array}\right)_{(x^{*},y^{*})}\)
        kallas Jacobi-matrisen i FP \((x^{*},y^{*})\). (multivariat motsvarighet till derivata)
      - Frestande att negligera kvadrat-termerna eftersom de är så små, detta ger det linjäriserade systemet
        \( \left(\begin{array}{c} \dot{u}\\ \dot{v} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u\\ v \end{array}\right) \)
        som kan analyseras med metoderna från 5.2 (Classification of Linear Systems)
        
        Är det säkert att negligera dessa?
        Svar: Ja, så länge som FP:n inte är ett av borderline-fallen diskuterade i 5.2 (Classification of Linear Systems).
        MED ANDRA ORD: Om linjäriserade systemet förutsäger en saddle, nod eller spiral så är FP:n verkligen en saddle, nod eller spiral för originalsystemet.
        
        Borderline cases är de som ligger på linje/kurva
        
        I exemplet på bilden visade linjäriseringen på center för alla a men originalet var istället spiral/center beroende på a.
        
        All trajectories are required to close perfectly after one cycle. The slightest miss converts the center into a spiral
        
        På samma sätt kan stars och degenerate nodes ändras av små ickelinjäriteter, men till skillnad från center så ändras inte deras stabilitet.
        Ex. stable star -> stable spiral, men inte till unstable spiral. Logiskt om man tittar på hur de ligger i grafen ovan (center mitt i kanten mellan stable/unstable, medan gränsen mellan spiral/star ligger antingen mitt bland unstable eller mitt bland stable)
        
        Om vi endast bryr oss om stabilitet och inte den detaljerade geometrin hos banorna så kan vi klassificera FPs mer grovt så här.
        
        Robust cases:
        Repellers (aka sources): båda egenvärdena har positiv realdel
        Attractors (aka sinks): båda egenvärdena har negativ realdel
        Saddles: ett egenvärde positivt, det andra negativt
        
        Marginal cases:
        Centers: båda egenvärdena är rent imaginära
        Higher-order and non-isolated FPs: minst ett egenvärde är noll
        
        Alltså gäller från stabilitetssynpunkt att marginalfallen är de med minst ett egenvärde med \(\textrm{Re}(\lambda)=0\)
        
        Hyperbolic Fixed Points, Topological Equivalence, and Structural Stability
        
        Om \(\textrm{Re}(\lambda)\neq0\) för båda egenvärdena så kallas FP:n ofta hyperbolisk. Tåliga, stabilitetstypen opåverkad av små ickelinjära termer. Ickehyperboliska = fragila.
        Vi har sett exempel på detta i vektorfält på linjen. I stabilitetsanalysen (2.4) såg vi att stabiliteten korrekt förutsågs av linjäriseringen så länge som \(f'(x^{*})\neq0\). Detta villkor är den exakta analogen till \(\textrm{Re}(\lambda)\neq0\).
        Dessa idéer generaliserar snyggt till higher-order-system. En FP av ett nth-order-system är hyperbolic om alla egenvärdena av linjäriseringen ligger utanför imaginäraxeln, dvs \(\textrm{Re}(\lambda_{i})\neq0\) för alla i. Hartman-Grobman-satsen: the local phase portrait near a hyperbolic FP is "topologically equivalent" to the phase portrait of the linearization; in particular, the stability type of the FP is faithfully captured by the linearization. Here topologically equivalent means that there is a homeomorphism (kontinuerlig deformation med en kontinuerlig invers) that maps one local phase portrait onto the other, such that trajectories map onto trajectories and the sense of time (the direction of the arrows) is preserved.
        Intuitivt så är två phase portrait topologiskt ekvivalenta om en är en distorted version av den andra. Bending och warping tillåtna, men inte ripping, så closed orbits måste förbli stängda, trajectories med saddlepunkter kan inte brytas, etc.
        Hyperboliska FPs illustrerar den viktiga generella notionen av structural stability. Ett phase portrait är structurally stable om dess topologi inte kan ändras av en arbiträrt liten perturbation av vektorfältet. Ex. the phase portrait of a saddle point is structurally stable, but that of a center is not: an arbitrarily small amount of damping converts the center to a spiral.
- - - - FPs är \((\theta^{*},v^{*})=(k\pi,0)\) där k är vilket som helst heltal.
        Men det är ju ingen fysisk skillnad på vinklar som skiljer sig med 2*pi, därför fokuserar vi på FP:na \((0,0)\) och \((\pi,0)\).
        
        I \((0,0)\) är Jacobimatrisen
        
        så origo är ett linjärt center.
        Faktum är att origo även är ett ickelinjärt center, för att
        (1) systemet är reversibelt (de är invarianta under transformationen \(\tau\rightarrow-\tau,\quad v\rightarrow-v\)) Theorem 6.6.1 # implicerar då att origo är ett ickelinjärt center.
        (2) Systemet är även konservativt. Vi ser det om vi multiplicerar \(\ddot{\theta}+\sin\theta=0\) med \(\dot{\theta}\) och integrerar:
        \(\dot{\theta}(\ddot{\theta}+\sin\theta)=0\Rightarrow\frac{1}{2}\dot{\theta}^{2}-\cos\theta=\textrm{konstant}\)
        Energifunktionen
        \(E(\theta,v)=\frac{1}{2}v^{2}-\cos\theta\)
        har ett lokalt minimum i (0,0) eftersom \(E\approx\frac{1}{2}(v^{2}+\theta^{2})-1\) för små \((\theta,v)\). Därav ger Theorem 6.5.1 # ytterligare ett bevis för att origo är ett ickelinjärt center. (Detta argument visar även att de stängda banorna är approximativt cirkulära, med \(\theta^{2}+v^{2}\approx2(E+1)\))
        
        Låt oss nu titta på FP:n \((\pi,0)\).
        
        så \(\lambda_{1}=-1,\quad\lambda_{2}=1,\quad\mathbf{v}_{1}=(1,-1),\quad\mathbf{v}_{2}=(1,1)\)
        
        Inkludera energikonturerna \(E=\frac{1}{2}v^{2}-\cos\theta\) för olika värden på E.
        
        Figuren är periodisk i \(\theta\)-riktningen. Centret motsvarar ett neutralt stable equilibrium, med pendeln i vila hängande rakt ner. Detta är det lägsta möjliga energitillståndet (E=-1). De små banorna kring centret representerar små oscillationer kring equilibrium, kallas librations. När E ökar växer banorna. Critical case E=1 corresponds to the heteroclinic trajectories joining the saddles . Saddles representerar en inverterad pendulum i vila; hence the heteroclinic trajectories represent delicate motions in which the pendulum slows to a halt precisely as it approaches the inverted position. För E>1 snurrar den om och om igen över toppen. These rotations should be regarded as periodic solutions, since \(\theta=-\pi\) and \(\theta=+\pi\) are the same physical position.
        
        Cylindrical Phase Space
        
        Fasporträttet är mer upplysande när man trär det runt ytan av en cylinder. En cylinder är en mer naturlig phase space för pendeln eftersom det inkorporerar den fundamentala geometriska skillnaden mellan \(v\) och \(\theta\): vinkelhastigheten \(v\) är ett reellt tal, medan \(\theta\) är en vinkel.
        Flera fördelar med cylindrisk representation: de periodiska banorna ser periodiska ut, och det blir tydligt att saddle-punkterna egentligen är samma fysiska tillstånd (inverterad pendel i vila). De heterokliniska banorna blir nu homokliniska.
        
        Vi har en symmetri mellan övre och undre halvan av cylindern. För att göra denna ännu tydligare kan vi plotta på ett speciellt sätt. Plotta energin i vertikala axeln istället för v. Banorna hamnar då på konstanta höjder och cylindern böjs till en U-tube.
        
        De homokliniska banorna ligger i E=1 i gränsen mellan rotationer och librations.
        
        Damping
        
        Tillbaka till fasplanet.
        Antag att vi lägger till lite linjär dämpning till pendeln. Vi får
        \(\ddot{\theta}+b\dot{\theta}+\sin\theta=0\)
        där b>0 är dämpningsstyrkan. Center blir stabila spiraler medan saddles förblir saddles.
        
        Bilden är klarare på U-tuben. All trajectories continually lose altitude, except for the FPs.
        
        Vi kan se detta explicit genom att beräkna ändring i energi längs en bana:
        \(\frac{dE}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\left(\frac{1}{2}\dot{\theta}^{2}-\cos\theta\right)=\dot{\theta}(\ddot{\theta}+\sin\theta)=-b\dot{\theta}^{2}\leq0\)
        Därav minskar E monotoniskt längs alla banor utom i FPs (där \(\dot{\theta}\equiv0\)).
        Banan i figuren ovan har följande fysiska tolkning: the pendulum is initially whirling clockwise. As it loses energy, it has a harder time rotating over the top. The corresponding trajectory spirals down the arm of the U-tube until E<1; then the pendulum doesn't have enough energy to whirl, and so it settles down into a small oscillation about the bottom. Eventually the motion damps and the pendulum comes to rest at its stable equilibrium.
        Exemplet visar hur långt man kan gå med bilder -- utan att använda några svåra formler lyckades vi extrahera alla viktiga egenskaper hos pendeldynamiken.