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Álgebra Lineal de Grossman Por: Dulce Martínez (Cambio de base…
Álgebra Lineal de Grossman
Por: Dulce Martínez
Combinación lineal.
Es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección
La combinación lineal es única.
Ejemplo:
Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como :
i = (1,0,0);
j = (0,1,0)
k =(0,0,1)
V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)
Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.
Independencia lineal.
Son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible
Teoremas
Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.
Cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, v ≠0, es linealmente independiente.
Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1, v2}, donde v1 ≠ 0, v2 ≠ 0, es linealmente dependiente si, y sólo si, uno de los vectores es múltiplo escalar del otro.
Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
Base y dimensión de un espacio vectorial
Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si...
S genera a V.
S es linealmente independiente
BASE:
Es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.
DIMENSIÓN
Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.
La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.
Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n
Cambio de base
En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’ , se llama matriz de cambio de base (o de
Cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las
Coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.
UTILIDAD
Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá
hallar las coordenadas de dicho vector en base B
PROPIEDADES
Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio al
que se refieren las bases.
Toda matriz de cambio de base es inversible (es decir, con determinante no nulo).
Además, la matriz de cambio de B a B’ es inversa de la matriz de cambio de B’ a B.
• Comprobar en el ejemplo anterior que P y Q son inversas entre sí. Por tanto, después de hallar P, podríamos haber hallado Q como P-1
La matriz de cambio de una base B a la misma base B, es la matriz identidad.
