Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

5 Linear systems (:<3: Love Affairs (Romeo is in love with Juliet, but…

- - - - Vi beräknar egenvektor:
        \(\begin{align*}A\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v} \\ (A-\lambda I)\mathbf{v} =0 \\ \textrm{det}(A-\lambda I) =0 \\ \textrm{det}(\left(\begin{array}{cc} a-\lambda & b\\ c & d-\lambda \\ \end{array}\right)) =0 \\ (a-\lambda)(d-\lambda)-bc =0 \\ ad-\lambda a-\lambda d+\lambda^{2}-bc =0 \\ \lambda^{2}-\tau\lambda+\Delta =0\end{align*}\)
        
        där \(\tau=a+d=\textrm{trace}(A)\)
        och \(\Delta=ad-bc=\textrm{det}(A)\)
        
        Vi får från pq-formeln:
        \(\lambda=\frac{\tau\pm\sqrt{\tau^{2}-4\Delta}}{2}\)
        
        Notera att egenvärdena endast beror på tracen och determinanten av A
        
        Typiskt är egenvärdena distinkta \(\lambda_{1}\neq\lambda_{2}\), en linalg-sats säger då att motsvarande egenvektorer \(\mathbf{v}_{1}\) och \(\mathbf{v}_{2}\) är linjärt oberoende (och spänner därför upp hela planet).
        Vilket initialt tillstånd som helst kan då skrivas som en linjärkombination av egenvektorer:
        \(\mathbf{x}_{0}=c_{1}\mathbf{v}_{1}+c_{2}\mathbf{v}_{2}\)
        Detta låter oss skriva en generell lösning för \(\mathbf{x}(t)\):
        \(\mathbf{x}(t)=c_{1}e^{\lambda_{1}t}\mathbf{v}_{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}\mathbf{v}_{2}\)
        
        Varför är detta den generella lösningen?
        För det första är det en linjärkombination av lösningar till \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\), vilket gör det till en lösning av \(\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\) enligt #
        För det andra uppfyller det initial condition \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0}\). Existence and uniqueness theorem ger då att det är den enda lösningen.
    - - Vi får antingen ett center eller en spiral.
      - Egenvärdena är # \(\lambda=\frac{\tau\pm\sqrt{\tau^{2}-4\Delta}}{2}\)
        Detta innebär att komplexa egenvärden förekommer när \(\tau^{2}-4\Delta<0\).
      - För att förenkla notationen skriver vi egenvärdena som
        \(\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\omega\)
        där
        \(\alpha=\tau/2,\quad\omega=\frac{1}{2}\sqrt{4\Delta-\tau^{2}}\)
      - Enligt antagandet är \(\omega\neq0\). Då är egenvärdena distinkta och generella lösningen ges fortfarande av
        \(\mathbf{x}(t)=c_{1}e^{\lambda_{1}t}\mathbf{v}_{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}\mathbf{v}_{2}\)
        Men nu är c:na och \(\mathbf{v}\):na komplexa eftersom \(\lambda\):na är det. Detta innebär att \(\mathbf{x}(t)\) innehåller linjärkombinationer av \(e^{(\alpha\pm i\omega)t}\).
      - Enligt Eulers formel så är
        \(e^{i\omega t}=\textrm{cos }\omega t+i\textrm{sin }\omega t\)
      - Alltså är \(\mathbf{x}(t)\) en kombination av termer som involverar \(e^{\alpha t}\textrm{cos }\omega t\) och \(e^{\alpha t}\textrm{sin }\omega t\).
        Sådana termer representerar exponentially decaying oscillations om \(\alpha=\textrm{Re}(\lambda)<0\) och growing oscillations om \(\alpha>0\). Motsvarande FP är stable resp. unstable spirals. (b) i figuren är en stable spiral.
      - Om egenvärdena är rent imaginära (\(\alpha=0\)) så är alla lösningar periodiska med period \(T=2\pi/\omega\). Oscillationerna har fixt amplitud och FP är ett center.
      - (För att få reda på CW eller CCW, beräkna några få vektorer i vektorfältet, och känslan av rotation borde bli tydlig)
    - - Antag att \(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda\).
        Det finns två möjligheter:
        
        Det finns två oberoende egenvektorer motsvarande till \(\lambda\)
        
        Om det finns två oberoende egenvektorer spänner de upp planet och alltså är alla vektorer en egenvektor med samma egenvärde \(\lambda\). För att se detta skriver vi en godtycklig vektor \(\mathbf{x}_{0}\) som en linjärkombination av de två egenvektorerna: \(\mathbf{x}_{0}=c_{1}\mathbf{v}_{1}+c_{2}\mathbf{v}_{2}\)
        Då är
        \(A\mathbf{x}_{0}=A(c_{1}\mathbf{v}_{1}+c_{2}\mathbf{v}_{2})=c_{1}\lambda\mathbf{v}_{1}+c_{2}\lambda\mathbf{v}_{2}=\lambda\mathbf{x}_{0}\) så \(\mathbf{x}_{0}\) är också en egenvektor med egenvärde \(\lambda\).
        Eftersom multiplikation med A bara stretchar varje vektor med en faktor \(\lambda\) så måste matrisen vara en multipel av identitetsmatrisen, dvs
        \( A=\left(\begin{array}{cc} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{array}\right) \)
        
        Om då \(\lambda\neq0\) så är alla banor raka linjer genom origo
        (\(\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{x}_{0}\)) och FP:n är en star node.
        
        Om å andra sidan \(\lambda=0\) så är hela planet fyllt med FP vilket ju inte är överraskande eftersom systemet då är \(\dot{\mathbf{x}}=0\).
        
        Det finns bara en oberoende egenvektor motsvarande \(\lambda\)
        
        (Detta innebär att eigenrummet motsvarande \(\lambda\) är endimensionellt.)
        
        Till exempel har en matris på formen \(A=\left(\begin{array}{cc} \lambda & b\\ 0 & \lambda \end{array}\right)\) med \(b\neq0\) endast ett endimensionell eigenrum.
        
        Då är FP en degenerate node. Både när \(t\rightarrow\infty\) och när \(t\rightarrow-\infty\) så blir alla banor parallella med denna enda egenriktning.
        
        Ett bra sätt att tänka på den degenererade noden är att föreställa sig att den har skapats genom att deformera en vanlig nod, som ju har två oberoende egenrikningar (alla banor är parallella med den långsamma egenriktningen när \(t\rightarrow\infty\) och den snabba när \(t\rightarrow-\infty\)) (a).
        
        Squashar ihop vissa banor för att få (b)
        
        Ett annat sätt att tänka: is to realize that the degenerate node is on the borderline between a spiral and a node. The trajectories are trying to wind around in a spiral, but they don't quite make it.
  - - - \(\lambda_{1,2}=\frac{1}{2}\left(\tau\pm\sqrt{\tau^{2}-4\Delta}\right)\) #
      - \(\Delta=\lambda_{1}\lambda_{2}\)
        \(\tau=\lambda_{1}+\lambda_{2}\)
        
        Dessa kan vi visa så här (tror jag): Eftersom vi vet att \(\lambda=\lambda_{1}\) eller \(\lambda=\lambda_{2}\) så kan vi skriva \((\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2})=0\). Vi har också enligt sista raden nedanför att \(\lambda^{2}-\tau\lambda+\Delta=0\). Dessa är alltså båda 0 och därför lika med varandra:
        \((\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2})=\lambda^{2}-\tau\lambda+\Delta\)
        \(\lambda^{2}-\underbrace{(\lambda_{1}+\lambda_{2})}_{\tau}\lambda+\underbrace{\lambda_{1}\lambda_{2}}_{\Delta}=\lambda^{2}-\tau\lambda+\Delta\)
      - För att komma fram till diagrammet gör vi följande observationer:
        
        Om \(\Delta<0\) så är egenvärdena reella och har motsatta tecken, alltså är FPn en saddle point
        
        Om \(\Delta>0\) så är egenvärdena antingen reella med samma tecken (nodes), eller complex conjugate (spirals eller centers). Noder uppfyller \(\tau^{2}-4\Delta>0\) och spiraler uppfyller \(\tau^{2}-4\Delta<0\). Parabolan \(\tau^{2}-4\Delta=0\) är gränslinjen mellan noder och spiraler; stjärnnoder och degenerate nodes ligger här. Stabiliteten a noder och spiraler bestäms av \(\tau\). När \(\tau<0\) så har båda egenvärdena negativa realdelar så FP är stable. Ostabila spiraler och noder har \(\tau>0\). Neutralt stabila center ligger på gränslinjen \(\tau=0\), där egenvärdena är rent imaginära.
        
        Om \(\Delta=0\) så är minst en av egenvärdena 0. Origo är då inte en isolerad FP, utan det finns antingen en hel linje av FPs eller ett plan, om A=0.