Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

8 Bifurcations revisited (Global Bifurcations of Cycles (Infinite-period…

- - - - Figuren ovan är representativ av följande mer generell situation. Titta på det tvådimensionella systemet
        \(\dot{x}=f(x,y)\)
        \(\dot{y}=g(x,y)\)
        som beror på en parameter \(\mu\). Antag att för något värde på \(\mu\) så skär the nullclines varandra som i figuren nedan:
        
        Notera att varje intersektion motsvarar en FP eftersom \(\dot{x}=0\) och \(\dot{y}=0\) samtidigt. Thus, för att se hur FP:na flyttar när \(\mu\) ändras behöver vi bara titta på intersektionerna. Antag nu att nullclinesen drar iväg från varandra när \(\mu\) varieras, och blir tangenta i \(\mu=\mu_{c}\). Då närmar sig FP:na varandra och kolliderar när \(\mu=\mu_{c}\); efter nullclineserna dragits isär finns inga intersektioner kvar och FP:na försvinner med ett BANG! Poängen är att alla saddle-node-bifurcations har den har karaktären lokalt.
- - - - I termer av flödet i phase space sker en supercritical Hopf bifurcation när en stable spiral övergår i en unstable spiral omringad av en liten, nearly elliptical limit cycle.
        
        vanligtvis ellipsformad, inte cirkelformad
    - - \(\dot{r}=\mu r-r^{3}\)
        \(\dot{\theta}=\omega+br^{2}\) #
      - Tre parametrar:
        
        \(\mu\) stabiliteten av FPn i origo
        
        \(\omega\) frekvensen av infinitesimala oscillationer
        
        b determines the dependence of frequency on amplitude for larger amplitude oscillations
      - För att se hur egenvärdena beter sig under bifurcationen skriver vi om systemet i kartesiska koordinater för att lättare hitta Jacobian.
        \(x=r\cos\theta\)
        \(\Downarrow\)
        \(\dot{x}=\dot{r}\cos\theta-r\dot{\theta}\sin\theta\)
        \(=(\mu r-r^{3})\cos\theta-r(\omega+br^{2})\sin\theta\)
        \(=(\mu-[x^{2}+y^{2}])x-(\omega+b[x^{2}+y^{2}])y\)
        \(=\mu x-\omega y+\textrm{cubic terms}\)
        På samma sätt får vi
        \(y=r\sin\theta\)
        \(\Downarrow\)
        \(\dot{y}=\omega x+\mu y+\textrm{cubic terms}\)
        Så Jacobianen i origo är
        
        Som förväntat korsar egenvärdena imaginäraxeln från vänster till höger då \(\mu\) ökar från negativa till positiva värden.
    - - Exemplet ovan illustrerar två regler som även gäller generellt för superkritiska Hopf-bifurcations:
        
        Storleken på limit cyclen växer kontinuerligt från noll, och ökar proportionerligt till \(\sqrt{\mu-\mu_{c}}\) för \(\mu\) nära \(\mu_{c}\).
        
        Frekvensen på limit cyclen ges approximativt av \(\omega=\textrm{Im }\lambda\), evaluerat i \(\mu=\mu_{c}\). Denna formel är exakt vid födelsen av limit cyclen, och korrekt inom \(O(\mu-\mu_{c})\) för \(\mu\) nära \(\mu_{c}\). Perioden är därför \(T=(2\pi/\textrm{Im }\lambda)+O(\mu-\mu_{c})\).
      - I exemplet rör sig egenvärdena i horisontell linje över im-axeln. Mer typiskt med en kurvig bana:
  - - - \(\dot{r}=\mu r+r^{3}-r^{5}\)
        \(\dot{\theta}=\omega+br^{2}\)
      - Den viktiga skillnaden från supercritical är att den kubiska termen \(r^{3}\) nu är destabiliserande; den hjälper till att skjuta iväg banor från origo.
      - För \(\mu<0\): en stable limit cycle + en stable FP i origo. Mellan dem en unstable cycle (streckade kurvan i figuren)
        När \(\mu\) ökar spänns unstable cyclen åt som en snara kring FPn.
        En subcritical Hopf bifurcation sker i \(\mu=0\), där unstable cyclen krymper till noll-amplitud och slukar origo, vilket gör det unstable.
        För \(\mu>0\) är large-amplitude-limit-cyclen den plötsligt den enda attraktorn i stan. Lösningar som brukade stanna nära origo tvingas nu att växa till large-amplitude-oscillationer.
        Systemet uppvisar hysteresis: när large-amplitude-oscillationer har börjat kan de inte stängas av genom att dra tillbaka \(\mu\) till noll. De stora svängningarna kommer bestå tills \(\mu=-1/4\) där stabila och unstable cycles kolliderar och förintas. Denna destruktion av large-amplitude-cycle sker via en annan typ av bifurcation, som kommer i 8.4.
      - sker i
        
        dynamiken hos nervceller
        
        aeroelastic flutter and other vibrations of airplane wings
        
        in instabilities of fluid flows
- - - - Om vi nu återgår till 2D-systemet, så motsvarar dessa FPs cirkulära limit cycles.
        
        Vid \(\mu_{c}\) föds en half-stable cycle från tomma luften. När \(\mu\) ökar splittas den till ett par av limit cycles, en stable och en unstable. Sett från andra hållet kolliderar en stable och en unstable cycle och försvinner när \(\mu\) minskar genom \(\mu_{c}\). Origo förblir stable hela tiden; it does not participate in this bifurcation.