Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

7 Limit Cycles (Poincaré-Bendixson Theorem (Antag att: \(R\) är en…

- - - - :link:
        :link:
- - - - Antag att systemet kan skrivas på formen \(\dot{\mathbf{x}}=-\nabla V\) för någon kont. deriverbar single-valued skalärfunktion \(V(\mathbf{x})\). Ett sådant system kallas ett gradientsystem med potentialfunktion \(V\).
        
        single-valued innebär bara att en input går till en output och inte flera
      - Theorem 7.2.1
        Closed orbits är omöjliga i gradientsystem
        Bevis
        Antag att det fanns en closed orbit. Vi får en motsägelse genom att titta på förändringen i \(V\) efter ett varv. Å ena sidan är \(\Delta V=0\) eftersom \(V\) är single-valued. Men å andra sidan är
        \(\Delta V=\int_{0}^{T}\frac{dV}{dt}dt\)
        \(=\int_{0}^{T}(\nabla V\cdot\dot{\mathbf{x}})dt\)
        \(=-\int_{0}^{T}\left|\left|\dot{\mathbf{x}}\right|\right|^{2}dt\)
        \(<0\)
        (om inte \(\dot{\mathbf{x}}\equiv\mathbf{0}\), i vilket fall banan är en FP, inte en closed orbit). Denna motsägelsen visar att closed orbits inte kan existera i gradientsystem.
      - Problemet med den här satsen är bara att de flesta tvådimensionella system inte är gradientsystem (däremot är alla vektorfält på linjen gradientsystem = en annan förklaring till frånvaron av oscillationer där)
    - - Även för system som inte har någonting med mekanik att göra kan energiliknande funktioner, som minskar längs banor, konstrueras, kallas Liapunov-funktion.
      - Med samma resonemng som för sats 7.2.1 är closed orbits omöjliga om en Liapunov-funktion existerar.
      - Mer precist: Vi har systemet \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\) med FP \(\mathbf{x}^{*}\). Antag att vi kan hitta en Liapunov-funktion, dvs en kont. deriverbar reellvärd funktion \(\mathbf{V}(\mathbf{x})\) med följande egenskaper:
        
        \(V(\mathbf{x})>0\) för alla \(\mathbf{x}\neq\mathbf{x}^{*}\) och \(V(\mathbf{x}^{*})=0\). (Vi säger att V är positivt definit)
        
        \(\dot{V}<0\) för alla \(\mathbf{x}\neq\mathbf{x}^{*}\) (Alla banor flödar "nedåt" mot \(\mathbf{x}^{*}\))
        
        Då är \(\mathbf{x}^{*}\) globalt asymptotiskt stable: för alla initiala tillstånd går \(\mathbf{x}(t)\rightarrow\mathbf{x}^{*}\) när \(t\rightarrow\infty\). Speciellt gäller att systemet saknar closed orbits.
        
        Intuitionen är att alla banor rör sig monotoniskt ner för grafen av \(V(\mathbf{x})\) mot \(\mathbf{x}^{*}\).
        
        Lösningarna kan inte fastna någon annanstans för om de gjorde det skulle \(V\) sluta förändras och, by assumption, skulle \(\dot{V}<0\) överallt utom i \(\mathbf{x}^{*}\).
        Tyvärr finns inget systematiskt sätt att konstruera Liapunov-funktioner. Gudomlig inspiration krävs vanligtvis, även om man ibland kan arbeta baklänges. Sums of squares occasionally work, som i detta exempel:
    - - Baserad på Green's sats
      - Låt \(\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\) vara ett kont. deriverbar vektorfält definierat på en simply connected delmängd \(R\) av planet.
        Om det existerar en kont. deriverbar reellvärd funktion \(g(\mathbf{x})\) sådan att \(\nabla\cdot(g\dot{\mathbf{x}})\) har ett tecken genom hela R, så finns det inga closed orbits liggande fullständigt i \(R\).
        
        Bevis
        Antag att det fanns en closed orbit \(C\) liggande fullständigt i regionen \(R\). Låt \(A\) denotera regionen inuti \(C\).
        
        Då ger Green's sats att
        
        där \(\mathbf{n}\) är outward-normalen och \(dl\) är arc length-elementet längs \(C\). Titta först på dubbelintegralen till vänster: den måste vara ickenoll, eftersom \(\nabla\cdot(g\dot{\mathbf{x}})\) har ett tecken i R. Å andra sidan är line integral:en till höger lika med noll eftersom \(\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{n}=0\) överallt, enligt antagandet att \(C\) är en trajectory (tangentvektorn \(\dot{\mathbf{x}}\) är ortogonal mot \(\mathbf{n}\)). Denna motsägelse implicerar att inget sådant \(C\) kan existera.
        
        Lider av samma nackdel som Liapunovs metod: det finns ingen algoritm för att hitta \(g(\mathbf{x})\). Candidates that usually work are \(g=1,\;1/x^{a}y^{b},\;e^{ax},\;e^{ay}\)
        
        Exempel:
- - - - För att se källan till problemen, låt oss börja med ett övningsproblem som kan lösas exakt. Vi har en svagt dämpad linjär oscillator
        \(\ddot{x}+2\varepsilon\dot{x}+x=0\)
        med initialvillkor
        \(x(0)=0,\;\dot{x}(0)=1\)
        Med teknikerna från kapitel 5 Linear systems hittar vi den exakta lösningen
        \(x(t,\varepsilon)=(1-\varepsilon^{2})^{-1/2}e^{-\varepsilon t}\sin\left[(1-\varepsilon^{2})^{1/2}t\right]\)
        Låt oss nu lösa problemet med perturbationsteori. Ersättning av power-expansionen in i huvudekvationen ger
        \(\frac{d^{2}}{dt^{2}}(x_{0}+\varepsilon x_{1}+\ldots)+2\varepsilon\frac{d}{dt}(x_{0}+\varepsilon x_{1}+\ldots)+(x_{0}+\varepsilon x_{1}+\ldots)=0\)
        Om vi grupperar termerna enligt powers av \(\varepsilon\) får vi
        \([\ddot{x}_{0}+x_{0}]+\varepsilon[\ddot{x}_{1}+2\dot{x}_{0}+x_{1}]+O(\varepsilon^{2})=0\)
        Eftersom detta ska gälla för alla tillräckligt små \(\varepsilon\) måste koefficienterna för varje power av \(\varepsilon\) försvinna separat. Därav får vi
        \(O(1):\;\ddot{x}_{0}+x_{0}=0\)
        \(O(\varepsilon):\;\ddot{x}_{1}+2\dot{x}_{0}+x_{1}=0\)
        (We're ignoring the \(O(\varepsilon^{2})\) and higher equations, in the optimistic spirit mentioned earlier)
        De lämpliga initialvillkoren för dessa ekvationer kommer från andra ekvationen uppifrån. I t=0 ger power-expansionen från högra stycket att \(0=x_{0}(0)+\varepsilon x_{1}(0)+\ldots\); detta gäller för alla \(\varepsilon\), så
        \(x_{0}(0)=0,\;x_{1}(0)=0\)
        Genom att applicera ett liknande argument på \(\dot{x}(0)\) får vi
        \(\dot{x}_{0}(0)=1,\;\dot{x}_{1}(0)=0\)
        Nu löser vi initialvärdesproblemen ett i taget; they fall like dominoes.
        Lösningen till \((O(1):\;\ddot{x}_{0}+x_{0}=0\), s.t. initialvillkoren \(x_{0}(0)=0,\;\dot{x}_{0}(0)=1\), är
        \(x_{0}(t)=\sin t\)
        Om vi sätter in denna lösningen i \(O(\varepsilon):\;\ddot{x}_{1}+2\dot{x}_{0}+x_{1}=0\) får vi
        \(\ddot{x}_{1}+x_{1}=-2\cos t\)
        Här är det första tecknet på trubbel; HL är en resonant forcing. Lösningen till denna ekvation s.t. \(x_{1}(0)=0,\;\dot{x}_{1}(0)=0\) är
        \(x_{1}(t)=-t\sin t\)
        vilket är en secular term, i.e. en term som växer utan bound när \(t\rightarrow\infty\).
        Sammanfattningsvis är lösningen till de två högsta ekvationerna enligt perturbationsteori:
        \(x(t,\varepsilon)=\sin t-\varepsilon t\sin t+O(\varepsilon^{2})\)
        
        Hur jämför sig detta (\(x(t,\varepsilon)=\sin t-\varepsilon t\sin t+O(\varepsilon^{2})\)) med den exakta lösningen?
        De två termerna är överens på följande sätt: om den exakta lösningen expanderas som en power-serie i \(\varepsilon\) ges de två första termerna av vår lösning. Faktum är att vår lösning är början på en convergent serie-expansion för den sanna lösningen. För any fixed t ger vår lösning en bra approximation så länge som \(\varepsilon\) är litet nog -- specifikt behöver vi att \(\varepsilon t<<1\) så att korrektionstermen (which is actually \(O(\varepsilon^{2}t^{2})\)) är negligibel.
        Men normalt sett är vi intresserade av beteendet för fixerade \(\varepsilon\), inte fixerade t. I så fall kan vi endast förvänta oss att perturbationsapproximationen fungerar för t mycket mindre än \(O(1/\varepsilon)\). För att illustrera denna begränsning plottar vi den exakta lösningen och vår lösning (perturbation series) för \(\varepsilon=0.1\). Som förväntat är perturbationsserien reasonably well om \(\varepsilon=0.1\), men bryter ihop efter det.
        
        I många situationer skulle vi viljar att vår approximation fångade den sanna lösningens kvalitativa beteende för alla t, eller åtminstone för stora t. Med detta krav är vår lösning (perturbation series) ett misslyckande, som figuren gör uppenbart. Det finns två stora problem:
        
        Den sanna lösningen har två tidsskalor: en fast time \(t\sim O(1)\) för sinus-oscillationerna och en slow time \(t\sim1/\varepsilon\) över vilken amplituden avtar. Vår lösning missrepresenterar fullständigt slow-time-skalebeteendet. Speciellt, eftersom den sekulära termen \(t\sin t\) falskt föreslår att lösningen växer med tid medan vi vet från exakta lösningen att amplituden \(A=(1-\varepsilon^{2})^{-1/2}e^{-\varepsilon t}\) avtar exponentiellt.
        Denna discrepancy sker eftersom \(e^{-\varepsilon t}=1-\varepsilon t+O(\varepsilon^{2}t^{2})\), so to this order in \(\varepsilon\), it appears (incorrectly) that the amplitude increases with t. To get the correct result, we'd need to calculate an infinite number of terms in the series. That's worthless; we want series approximations that work well with just one or two terms.
        
        Frekvensen av oscillationerna i exakta lösningen är \(\omega=(1-\varepsilon^{2})^{1/2}\approx1-\frac{1}{2}\varepsilon^{2}\), vilket är skiftat slightly från frekvensen \(\omega=1\) av vår lösningen.Efter väldigt lång tid \(t\sim O(1/\varepsilon^{2})\) kommer detta frekvensfelet ha en signifikant kumulativ effekt. Notera att detta är en tredje super-slow tidsskala.
    - - För att applicera two-timing till formen \(\ddot{x}+x+\varepsilon h(x,\dot{x})=0\), låt \(\tau=t\) denotera den snabba O(1) tiden, och låt \(T=\varepsilon t\) denotera den långsamma tiden.
        Vi kommer behandla dessa två tider som om de vore oberoende variabler. Speciellt, funktioner av slow time T kommer ses som konstanter i den snabba tidsskalan \(\tau\). Hard to justify this idea rigorously, but it works!
        Now we turn to the mechanics of the method. We expand the solution of \(\ddot{x}+x+\varepsilon h(x,\dot{x})=0\) som en serie
        \(x(t,\varepsilon)=x_{0}(\tau,T)+\varepsilon x_{1}(\tau,T)+O(\varepsilon^{2})\) (18)
        Tidsderivatorna i huvudekvationen transformeras med kedjeregeln:
        \(\dot{x}=\frac{dx}{dt}=\frac{\partial x}{\partial\tau}+\frac{\partial x}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\partial x}{\partial\tau}+\varepsilon\frac{\partial x}{\partial T}\) (19)
        En subscript-notation för derivering är mer kompakt; vi kan därför skriva detta som
        \(\dot{x}=\partial_{\tau}x+\epsilon\partial_{T}x\) (20).
        Efter att ha substituerat (18) in i (20) och samla ihop powers av \(\varepsilon\), får vi
        \(\dot{x}=\partial_{\tau}x_{0}+\varepsilon\left(\partial_{T}x_{0}+\partial_{\tau}x_{1}\right)+O(\varepsilon^{2})\)
        Similarly,
        \(\ddot{x}=\partial_{\tau\tau}x_{0}+\varepsilon(\partial_{\tau\tau}x_{1}+2\partial_{T\tau}x_{0})+O(\varepsilon^{2})\)
        
        Exempel:
        
        Ett till exempel:
      - Validity of two-timing
    - - Exempel