指数関数・対数関数

指数関数

指数の拡張

定義

累乗根

$x^n = a を満たすxの値 \, ( a \in \mathbb{R})$

$nが奇数のとき$

$ x = \sqrt[n]{a} $

$nが偶数のとき$

$ x = \pm \sqrt[n]{a} $

性質

$ a,b>0, m,n,p \geq 2 かつ整数$

$ \sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n=a $

$ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} , \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} $

$ (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $

$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} $

$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}} $

$ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} $

$ a^{\dfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m $

累乗根は指数の形で表せ

$ a^{2x}+a^{-2x} = (a^x + a^{-x})^2 -2 $

$ a^{3x}a+a^{-3x} = (1^x+1^{-x})^3 -3(a^x+a^{-x}) $

$ a^0=1 $

指数関数のグラフ

$ y = a^x $

すべての実数xに対して，$ a^x>0 $

$ (0,1)を通る $

$ a>1のとき，単調増加.\\ 0< a <1のとき，単調減少 $

$a>0,b>0,nが2以上の自然数のとき $

$ \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b} \Longleftrightarrow a < b \Longleftrightarrow a^n < b^n $

大小比較の基本は底をそろえる

指数方程式・不等式

底をそろえる

置き換えたら範囲に注意

対数関数

対数の定義

$ \log_a M = p \Longleftrightarrow M = a^p $

$ a^{\log_a M} = M $

対数の性質

$ \log1 = 0 $

$ \log e =1 $

$ \log MN = \log M + \log N $

$ \log \dfrac{M}{N} = \log M - \log N $

$ \log M^r = r \log M $

$ \log \sqrt[n]{A} = \dfrac{1}{n} \log A $

$ \log \dfrac{1}{A} = -\log A $

変換公式

$ \log _a b = \dfrac{\log_c a}{\log_c b} $

対数関数のグラフ

$ 定義域は， x > 0 $

$ (1,0)を必ず通り，y軸が漸近線 $

$ y = a^x の逆関数 $

$ \log_a p = \log_a q \Longleftrightarrow p = q $

条件式の底に合わせる

$ aがn桁，10^{n-1} \leq a < 10^n \Longrightarrow n-1 \leq \log_10 a < n $

最高位の数字

$ 10^{n+\alpha} =10^n \times 10^\alpha (n \in \mathbb{Z}, 0 \leq \alpha <1) $