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数列 (いろいろな数列 (階差数列, 部分分数分解, 群数列, 累乗の和), 数学的帰納法 (\( 自然数nを含んだ命題P(n)が，\\…

- - - - \( a_n = d(n-1) + a \)
        
        \( 第n項は公差 \times 番号の差 + 初項 \)
    - - \( (a,b,c)が等差数列 \)
        
        \( b-a = c-b \)
        
        \( b - (b-d) = (b+d) - b \)
        
        \( 2b = a+ c \)
    - - \( a_1 =a \)
      - \( a_{n+1} - a_n = d \, (n = 1, 2, 3, \cdots) \)
        
        \( dずつ増える \)
    - - \( S = \dfrac{1}{2}n(a+l) = \dfrac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\} \)
      - \( \dfrac{1}{2} \cdot \{ (初め) + (終わり) \} \times (個数) \)
    - - \( a_n - a_1 = b_1 + b_2 + \, \cdots \, + b_n \)
        
        \( \displaystyle a_n = a_1 + \sum^{n-1}_{k=1} b_k \)
    - - \( a_n = S_n - S_{n-1} \, (n \geq 2) \)
    - - \( a_{n+1} - a_n \)の大小比較
      - \( 常に a_n > 0 のとき，\dfrac{a_{n+1}}{a_n} と 1の大小比較 \)
  - - - \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)
    - - \( a_1 = a \)
      - \( a_{n+1} = a_n \cdot r \, (n= 1, 2, 3, \cdots) \)
    - - \( (a,b,c)が等比数列 \)
        
        \( \dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b} \)
        
        \( \dfrac{ar}{a} = \dfrac{br}{b} \)
        
        \( ac = b^2 \)
    - - \( S = a \cdot \dfrac{1-r^n}{1-r} \)
        
        ずらして引く
- - - - 隣同士の差に注目
        
        階差型
        
        \( a_{n+1} - a_n = f(n) \)
        
        等差数列
        
        \( a_{n+1} -a_n = d \)
      - 隣同士の比に注目
        
        等比数列
        
        \( a_{n+1} =r a_n \)
        
        \( a_{n+1} = f(n) \cdot a_n \)
    - - \( a_{n+1} - g(n+1) = a_n -g(n) に変形 \rightarrow 等比数列へ \)
        
        \( a_{n+1} =p a_n +q \)
        
        特性方程式っぽいものを解く
        
        \( a_{n+1} = p a_n + f(n) \)
        
        \( a_{n+1} + \alpha (n+1) + \beta = p \left( a_n + \alpha n + \beta \right) \)
        
        \( a_{n+1} = p a_n + r^n \)
        
        \( a_{n+1} - \alpha \cdot r^{n+1} = p ( a_n - \alpha \cdot r^n ) \)
        
        \( a_n - r^n = (a_1 - r^1) p^{n-1} \)
        
        \( p^{n+1}で割る \rightarrow 階差数列 \)
        
        \( p=r のときのみ， r^{n+1} で割る \rightarrow 等差数列 \) #
    - - 特性方程式を解く
        
        \( \alpha \neq \beta のとき \)
        
        2つつくって，引く
        
        \( 重解(\alpha = \beta )のとき \)
        
        \( a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \alpha \left( a_{n+1} - \alpha a_n \right) \)
      - 連立漸化式
        
        \( \left\{ \begin{align} &a_{n+1} = \square a_n + \bigcirc b_n \\ &b_{n+1} = \bigcirc a_n + \square b_n \end{align} \right. \) クロス型は，足して，引く
        
        共通の解法
        
        \( b_n, b_{n+1} を消去して，a_nの隣接3項間漸化式にする \)
        
        \( a_{n+1} + \alpha b_{n+1} = \beta \left( a_n + \alpha b_n \right) に変形する \)