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2次関数 (2次関数の最大・最小 (軸が動くパターン (放物線の頂点の軌跡 (\( y = (x-a)^2 + f(a)において，X=a,…

- - - - 軸（頂点）が定義域に含まれるかどうかを調べよ
      - 定義域の中央と軸が一致する場合に着目せよ
  - - - \( y = (x-a)^2 + f(a)において，X=a, Y=f(a) として消去 \)
  - - - 2変数関数も，文字が消去できれば1変数関数
      - 消去された文字の条件に注意せよ.
      - 2次式の条件には，実数条件\( (y^2 \geq 0)\)が隠れている
    - - まず1つの文字について整理し，最小値を求める
      - 求めた最小値に対して，その最小値の最も小さい値がzの最小値
  - - - 場合分けに注意
- - - - 頂点のy座標
      - 判別式D
    - - 共有点の座標は連立方程式で求めよ
      - 共有点の個数は， \(y\)を消去した2次方程式の判別式で決まる
  - - - 連立不等式の解は，数直線上の共通部分である
    - - \( 1^\circ \textbf{与えられた解の範囲を}x\textbf{軸上に定める} \)
      - \( 2^\circ \textbf{与えられた2次不等式が，} \\ 1^\circ \textbf{の解の範囲で成り立つように，} \\ 2\textbf{次関数のグラフが上か下どちらに凸かを定める} \)
      - \( 3^\circ 2\textbf{次関数と}x\textbf{軸との交点の座標より，係数を求める} \)
    - - \( a \neq 0 のとき，すべてのxについて \)
        
        \( ax^2 +bx +c > 0 \Longleftrightarrow \left\{ \begin{align} &2次の係数 &a>0 \\ &判別式 &D<0 \end{align} \right. \)
        
        放物線が下に凸で，つねにx軸より上にある条件
        
        \( ax^2+bx+c<0 \Longleftrightarrow \left\{ \begin{align} &2次の係数 &a<0 \\ &判別式 &D<0 \end{align} \right. \)
        
        放物線が上に凸で，つねにx軸より下にある条件
  - - - \( 1^\circ 頂点のy座標の符号 \)
      - \( 2^\circ 軸の位置 \)
      - \( 3^\circ 区間の端点でのy座標の符号 \)
      - \( 0^\circ 上に凸か下に凸か確認する \)
    - - \( (x^2の係数) >0 のとき， f(p)<0 \)
      - \( (x^2の係数) < 0のとき， f(p)>0 \)
    - - \( f(p) \cdot f(q) <0 \)
- - - - \(標準形，軸はx=p，頂点(p,q) \)
    - - 一般形
        
        平方完成
        
        簡易検算
        
        \( x=0を代入してみる \)
        
        カタマリは文字に置き換える
        
        分数
        
        ややこしい文字式 a+2とかでも
        
        軸の求め方
        
        \( y'=0 \)
        
        \( 頂点のy座標 \)
        
        剰余の定理+組立除法
    - - \(因数分解形，x軸との共有点(\alpha,0), (\beta,0) \)
    - - 基本
        
        \( |A|= \left\{ \begin{align} &A &(A \geq 0) \\ &-A &(A<0) \end{align} \right. \)
      - 簡易
        
        \( y=f(x)\)のグラフをかいて，y座標が負の部分を正の側に折り返す
      - 絶対値を含む不等式はグラフを用いて視覚的に解く
    - - 頂点を追いかけるのが原則
      - 平行移動
        
        \( \left( \begin{align} &x \equiv x-p \\ &y \equiv y-q \end{align} \right)\)
      - 対称移動
        
        y軸対称
        
        \( x \equiv -x \)
        
        x軸対称
        
        \( y \equiv -y \)
        
        原点対称
        
        \( \left( \begin{align} &x \equiv -x \\ &y \equiv -y \end{align} \right)\)
      - 逆の移動は順序が重要