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複素数 (複素数と平面図形 (内分点・外分点 (内分点 (\( \frac{n\alpha + m\beta}{m+n} \)), 外分点 (\(…
複素数
複素数と平面図形
平行移動
2点間の距離
\( AB = |\beta - \alpha| \)
内分点・外分点
内分点
\( \frac{n\alpha + m\beta}{m+n} \)
外分点
\( \frac{-n\alpha +m\beta}{m-n} \)
点まわりの回転
\( 点C(\gamma)は，点B(\beta)を点Ａ(\alpha)まわりに\theta だけ回転し，\\ 点Aからの距離をk倍 (k>0)したもの \)
\( \gamma - \alpha = k\left(\cos \theta + i\sin \theta \right) \left( \beta - \alpha \right)\)
なす角
図形の方程式
直線
ベクトル方程式
\( \frac{z-\alpha}{m} = \overline{ \left( \frac{z-\alpha}{m} \right)} \)
共線条件
\( \frac{z-\alpha}{z-\beta} = \overline{ \left(\frac{z-\alpha}{z-\beta} \right)} \)
垂直二等分線
\( |z-\alpha| = |z-\beta| \)
円
\( 中心A(\alpha), 半径r (r>0) \)
\( |z - \alpha| = r \)
\( 定点A(\alpha), B(\beta)が直径の両端 \)
アポロニウスの円
三角形の相似条件
直交形式 \( z = a + bi \, (a,bは実数) \)
和・差・実数倍
ベクトルの和・差・実数倍をイメージ
複素平面
虚数単位 \( i \)
\( i^2 = -1 をみたす数 \)
実軸と虚軸
実軸上の点は実数
\( \mathrm{Re}z = a, \mathrm{Im}z = b \)
共役複素数
\( \bar{z} = a - bi \)
\( \mathrm{Re} \) 軸対称
実数条件・純虚数条件
\(z\)が実数
\( z = \bar{z} \Longleftrightarrow b = 0 \)
\( |z|^2 = 1 \Longleftrightarrow \bar{z} = \frac{1}{z} \)
大小関係がある
\(z\)が純虚数
\( z + \bar{z} = 0 \Longleftrightarrow z = -\bar{z} \)
\( a = 0, b \neq 0 \)
性質
\( \alpha = a + bi, \beta = c+ di \)
\( \overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta} \)
\( \overline{\alpha_1 + \alpha_2 + \, \cdots +\alpha_n} = \overline{\alpha_1} +\overline{\ \alpha_2} + \, \cdots +\overline{\alpha_n} \)
数学的帰納法で示す
直交形式の計算で示す
\( \overline{ \alpha \beta} = \overline{\alpha} \overline{\beta} \)
\( \overline{ \alpha^n } = \left( \overline{ \alpha } \right)^n \)
数学的帰納法で示す
直交形式の計算で示す
実数係数の\(n\)次方程式
\( \alpha が解ならば，\bar{\alpha}も解である \)
絶対値
\( |z| =|a + bi| = \sqrt{a^2 + b ^2} \)
\( |\alpha \beta| = |\alpha||\beta| \)
\( |\frac{\alpha}{\beta}| = \frac{|\alpha|}{\beta|} \)
\( z \bar{z} = a^2 + b^2 \)
\( |z| = 1 \Longleftrightarrow |z|^2 = 1 \Longleftrightarrow z \bar{z} = 1\Longleftrightarrow \bar{z} = \frac{1}{z} \)
\( |\alpha + \beta|^2 = (\alpha + \beta) (\overline{\alpha + \beta}) = (\alpha + \beta)(\overline{\alpha} + \overline{\beta}) \)
\( |z| = 1 \)
\( z = \frac{1}{\overline{z}} \)
\( |z|^n = 1 \)
\( z^n = -i , n \in N \)
\( |z + i|^2 = (z + i)\overline{(z + i)} = (z+i)(\overline{z}-i) \)
演算
文字式と同様
注意点
\( i^2 = -1 \)
分母の実数化
\( \sqrt{-a} = \sqrt{a} i \, (a>0) \)
複素数の相等
\( a + bi = c + di \Longleftrightarrow a = c, b = d \)
\( a + bi = 0 \Longleftrightarrow a = b = 0 \)
ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理
\( \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta \, (n \in \mathbb{Z} ) \)
\( e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \)
\( (e^{i\theta})^n = e^{i(n\theta)} \)
\(n乗根 \)
\( z^n = \alpha \) を満たす点
\( zは半径 \sqrt[n]{|\alpha|} の円をn等分する \)
\( z = \sqrt[n]{\alpha} \left\{ \cos \left( \frac{\theta_0}{n} + \frac{2 \pi}{n} \times k \right) + i\sin \left( \frac{\theta_0}{n} +\frac{2\pi}{n} \times k \right) \right\} \, ( k = 0, 1 ,2, \, \cdots, \, n-1 ) \)
1のn乗根
\( w_k = \cos \left( \cfrac{2\pi}{n} \times k \right) + i\sin \left( \cfrac{2\pi}{n} \times k \right) (k - 0, 1, 2, \, \cdots, \, n-1) \)
\( z^n = 1 の解 \)
\( \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i\sin \frac{2\pi}{n} とすると，\\単位円周をn等分する点は，1, \omega, \omega^2, \, \cdots \, \omega^{n-1} \)
\( z^n - 1 = (z-1)(z-\omega)(z-\omega^2) \, \cdots\cdots \,(z-\omega^{n-1}) \)
虚数の等比数列の和は，実数と同様
極形式 \( z = r \left(\cos \theta + i \sin \theta\right) \ (r \, \geq \, 0) \)
極形式
\( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
\( \arg z = \theta + 2 \pi \times n (n \in \mathbb{Z} ) \)
積・商
\( \alpha = r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right),\beta = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \)
積の極形式
\( |z_1 z_2| = |z_1||z_2| = r_1 r_2 \)
\( \mathbb{arg} z_1 z_2 = \mathbb{arg}z_1 + \mathbb{arg}z_2 \)
\( z_1 z_2 = r_1 r_2 \left\{ \cos (\theta_1 + \theta_2) + i\sin (\theta_1 + \theta_2) \right\} \)
商の極形式
図形的意味
利用法
\( \alpha \pm \beta \)
の余弦・正弦の値が求まる
加法定理の導出