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図形と方程式 (直線と方程式 (垂直二等分線 (\( |\overrightarrow{AP}| = |\overrightarrow{BP}|…
図形と方程式
直線と方程式
\( (p,q)を通り傾きがmの直線 \)
\( y - q = m(x - p) \)
\( 点(p,q)を通り，法線ベクトルが(a,b) \)
\( \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-p \\ y-q \end{pmatrix} = 0 \)
\( a(x - p) + b(y - q) = 0 \)
\( \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\vec{d} \)
交点を通る直線
\( (ax + by + c) - k(a'x + b'y + c') = 0 \)
\( a'x + b'x + c' = 0 \)自身は表さない
接線
\( y - f(a) = f'(a)(x - a) \)
法線
\( y - f(a) = - \dfrac{1}{f'(a)}(x -a) \)
極線
垂直二等分線
\( |\overrightarrow{AP}| = |\overrightarrow{BP}| \)
\( \left\{ \begin{array} \, 線分ABの中点を通る \\ 直線ABと垂直に交わる \end{array} \right. \)
\( 直線 \, l \, に対して点Aと対称な点B \, \left\{ \, \begin{array} \, 線分ABの中点が \, l \, 上 \\ 直線ABと \, l \, が垂直 \end{array} \right. \)
\( (a,0),(0,b)を通る直線 \)
\( \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \)
円と方程式
\( 中心(a,b),半径r(r>0) \)
\( C : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)
一般形
\( x^2 + y^2 + lx + my + n = 0 \)
\( (x-a)^2 + (y-b)^2 = k \)
\( k>0 \, \cdots \, 円 \)
\( k= 0 \, \cdots \, 1点(a,b) \)
\( k < 0 \, \cdots \, 図形を表さない \)
円と直線
位置関係
\(判別式D \)
\( D=0 \Longleftrightarrow 接する \)
\( D<0 \Longleftrightarrow 共有点0 \)
接点が必要
\( D>0 \Longleftrightarrow 異なる2点で交わる \)
円の中心と直線の距離
接点が不要
弦の長さ
円の接線
\( 接点(x_1, y_1) \)
\( x_1 x + y_1 y = r^2 \)
円外から引く
\(2接点を通る線 \equiv 極線 \)
\( 点(x_0,y_0)から 円 \ x^2 + y^2 = r^2へ接線を引いた \)
\( 接点(x_1,y_1), (x_2,y_2) \)
2点の接線を出す
\( (x_0,y_0)を通る \Rightarrow 代入 \)
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傾き
\(m\)
の接線を考える
点と直線の距離
接点は接線，接点と原点を結ぶ直線を連立して出す
\(判別式D = 0 \)
接点は重解から出す
\( 接点(x_1,y_1)とおいて連立方程式 \)
接点が出る
共通接線
(円の中心と接線の距離) = (半径)
\( 接点を(m,n)とおく \)
\( 接線のx切片Pを求める \)
三平方の定理より接線の傾きを求める
対称性を用いる
\( 傾きがm \)
2本存在することに注意せよ.
交点を通る図形
2円の交点
\( 円 \, C_1 : f(x,y) = 0, 円 \, C_2 : g(x,y) = 0 \)
\( f(x,y) + k \cdot g(x,y) =0 \)
\( k=-1 \, \cdots \, 2円の2交点を通る直線 \)
\( k \neq -1 \, \cdots \, 2円の2交点を通る円 \)
\( 円C_2は表せない \)
円と直線の交点
\( 円 \, C : x^2 + y^2 + lx + my + n = 0, 直線 \, l \, : ax + by + c = 0 \)
\( (x^2 + y^2 + lx + my + n) + k(ax + by + c) = 0 \)
2交点を通る円
円と放物線
\( 2点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)が直径の両端 \)
\( (x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0 \)
\( \vec{p} = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \)
\( \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} = 0 \)
\( \left( \begin{matrix} x - x_1 \\ y - y_1 \end{matrix} \right) \cdot \left( \begin{matrix} x - x_2 \\ y - y_2 \end{matrix} \right) = 0 \)
2円の位置関係
中心間の距離と半径を考えよ
軌跡と領域
\( 点P(x,y)とおいて，条件をx, yの式で表す \)
軌跡の逆を吟味する(
十分性の検証
)
図に描いて考える
パターン
動点
\( P(x,y), Q(s,t)とおく \)
\(s,tをx,yで表し，点(s,t)を曲線の式に代入してx,yの関係式を作る \)
媒介変数(パラメータ)
\( \left\{ \begin{array} \, x = f(t) \\ y = g(t) \end{array} \right. \xrightarrow{tを消去} \, x, yの方程式 \, (x, yの範囲に注意) \)
交点の軌跡
媒介変数の消去
図形の性質を調べる
中点の軌跡
同じ側と反対側
領域と最大・最小
逆像法
包絡線
手順
求めたい変数を固定する
対応関係にある変数の条件を考える
固定した変数の範囲が出る
固定を解除して変数化
存在領域
線形計画法
\( 領域Dを図示 \)
\( 求める値 = k \, とおく \)
\( この直線とDの交点から最大・最小を求める \)
順像法
ファクシミリの原理
反転
定義
\( 中心O, 半径rの円がある.点Oとは異なる点Pに対し，\\ 定点Oを端点とする半直線OP上の点Qが，\\ OP \cdot OQ = r^2 \\ を満たすとき，点Pを点Qに移す変換のことを「反転」と定義する. \)
\( 定点Oを「反転の中心」，半径rを「反転の半径」と呼ぶ. \)
使用例
点の座標
内分点
\( 線分ABをm:nに内分する点 \)
\( \dfrac{nx_1 + mx_2}{m+n} \)
中点
対称点
外分点
\( 線分ABをm:nに外分する点 \)
\( \dfrac{-nx_1 + mx_2}{m-n} \)
三角形
形状決定
辺の長さを求めよ
重心
\( ( \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}) \)
距離
点と点
\( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( \overrightarrow{AB} = \left( \begin{matrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{matrix} \right)の大きさ \)
点と直線
\( 点P(x_1,y_1)と直線 ax+by+c=0 \)
\( d = \dfrac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
証明
垂線との交点Hとの距離
2点間の距離
うまく変形して消去
正射影ベクトル