場合の数・確率
順列
1対1対応
補集合・余事象
包除原理
カルノー図
独立反復試行
推移グラフ
最短経路
重複組合せ
ボールと箱
条件付き確率
確率漸化式
期待値
極限
円順列
重複順列
数珠順列
立体の塗り分け
基本事項
場合の数
異なるものの数を数える
個数の処理
数え上げる
法則を使う
和の法則
積の法則
樹形図
確率
ある試行における事象の起こりやすさの割合
求め方
場合の数の比
乗法定理
独立試行
乗法定理
0≤P(A)≤1
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) \)
同じものを含む順列
\( \dfrac{n!}{p!q!r!} \, ( n=p+q+r) \)
多項係数
一定の順序を含む
順序が指定されている
～を含む
隣り合う・隣り合わない
隣り合う
カタマリとみる
隣り合わない
後から間に入れる
1つを固定する
\( (n-1)! 通り\)
非対称なものを含む
非対称なもの
対称なもの
\( \left\{ (円順列の数) - (対称な数) \right\} \div 2 + (対称な数) \)
すべて対称なもの
\( (円順列の数) \div 2 \)
少ない方をどの席にするかの組み合わせ
底面を固定する
上面の塗り方
側面は円順列(じゅず順列)
同じ色を使う
同じ色を塗る場所から考える
ダブる色以外を底面・上面に固定
補集合
部屋割り
余事象
\(n(A) = n(U) -n(\overline{A}) \)
場合分けが多い・あいまい
「少なくとも」
対処法
事象にAなどの名前を付ける
\( 1- P(\overline{A}) のように書く \)
「～を含む」
カルノー図・ヴェン図
最短経路
書き込み方式
同じものを含む順列・組み合わせ
階段状
直前の位置の和
通れない点
検算方法
click to edit
最短経路"的な"
カタラン数
対称移動
順序が指定されている
順列の代わりに組合せ
\( ↑ + \nearrow + \rightarrow \)でほぼいける
矢印の並べ方と1対1
○と｜
○と｜の順列が1対1
同じものを含む順列
○を｜で仕切る
\( n種類に分けるには，(n-1)本の｜を入れる \)
空がない
間に｜を入れる
整数解の個数
増加列
「連」
アラカルト
ボールと箱
2つの集合が絡む
積が\(a\)の倍数
素因数があるか，ないかを視覚化
素因数の次数に注目
最大値・最小値
事象を分析的にとらえる
条件付き確率
共通
類別
回数指定
(起こり方の順序の数) × (各々の起こり方の確率)
各回の確率は一定.これを，順序を意識してかける
\( {}_n C_k \times p^k(1-p)^{n-k} \)
各回3事象
事象を"束ねる"
\( k \, 回先に勝つ \)
\(n試合中k回先勝して優勝する\)
\( (n-1)回までに(k-1)回勝ち，\)最後は必ず勝つ
\( x 勝リードで終了 \rightarrow デュース \)
推移グラフで視覚化
独立反復試行
\(x \) 勝リードで終了
デュース
第○回目に△度目の
指定された回以前に注目
記号化 → 視覚化
2連勝で終了
反復する事象を視覚化
偶奇で場合分け
座標の変化
対称性の利用ができないか？
ランダムウォーク（反射壁）
破算の確率（吸収壁）
類別
くじ引き
単なる割合
時の流れ
原因の確率
共通
カルノー図，表などで視覚化する
融合問題
漸化式
\( 数列の和\Sigma \)
区分求積法
8パターン
重複順列
○と｜
各回2状態
直前と直後の関係を，推移図で視覚化
明示的でない"ドミノ構造"
「実現回数」
和・合計
\( 1 -p_nでよいか？ \)
"束ねる"
偶奇分け
各回3状態
対称性
あり
なし
ちょうど～になる
連続しない
最初で場合分けしてみる
領域の分割
ランダムウォーク・破産の確率
独立反復試行
区分求積法
ネイピア数
巴戦
破算の確率
クーポンコレクター（コンプガチャ）
\( n \left( \cfrac{1}{n} + \cfrac{1}{n-1} + \cfrac{1}{n-2} + \, \cdots \, \cfrac{1}{1} \right) \)
定義
期待値と二項係数
期待値の加法性
クーポンコレクター
事象に名前を付ける
\( P_A(B) =\cfrac{n(A \cap B)}{n(A)} = \cfrac{\cfrac{n(A \cap B)}{n(U)}}{\cfrac{n(A)}{n(U)}} = \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \)