КРУГ
ОКРУЖНОСТЬ
ВПИСАННАЯ
ОКРУЖНОСТЬ - фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии.
В многоугольнике
Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая и является центром вписанной окружности.
r=S/p
Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к его полупериметру
В треугольнике
Свойства В.О.
В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
Центр О вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
r=S/p=sqrt (p-a)(p-b)(p-c)/p
1/r=1/ha+1/hb+1/hc
где p — полупериметр треугольника
ha,hb,hc — высоты, проведённые к соответствующим сторонам
ФОРМУЛЫ
2Rr=abc/(a+b+c)
r/R=4S^2/pabc
В четырёхугольнике
выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда,
когда суммы его противоположных сторон равны.
когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°
ОПИСАННАЯ
Свойства О.О.
Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если около n-угольника описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Около любого правильного многоугольника (все углы и стороны равны) можно описать окружность, и притом только одну.
Вокруг каждого треугольника может быть описана единственная окружность.
Уравнения окружности
A =(A_x;A_y)
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри,
у тупоугольного — вне треугольника,
у прямоугольного — на середине гипотенузы.
ФОРМУЛЫ
R=abc/4S
R = a/2sin a = b/2sin b = c/2sin с
R
=abc/sqrt (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
=abc/4sqrt p(p-a)(p-b)(p-c)
a,b,c — стороны треугольника,
a,b,y — углы, лежащие против сторон a,b,c соответственно,
S — площадь треугольника.
p — полупериметр треугольника, т.е. p=a+b+c/2
Хорда
Свойства хорд
Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам.
Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.
Свойства окружности
Прямая
может не иметь с окружностью общих точек;
иметь с окружностью одну общую точку (касательная);
иметь с ней две общие точки (секущая).
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.
ТЕОРЕМЫ
Теорема о касательной и секущей
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть:
MC^2 = MA•MB.
Теорема о секущих
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.
MA•MB = MC•MD.
УГЛЫ
Свойства углов, связанных с окружностью
Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.
Длины и площади
C = 2 pi R.
S = pi R^2.
ФОРМУЛЫ
d=2r
l = pi r альфа/180
S сек = pi r^2 альфа /360