свойства равнобедренного треугольника

подобие треугольников

1 признак

2 признак

3 признак

равенство треугольников

1 признак

2 признак

3 признак

Если 2 стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника то такие треугольники равны

Если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то таки треугольники равны

определения

МЕДИАНА - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

БИССЕКТРИСА - отрезок биссектрисы угла треугольника , соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны

ВЫСОТА - перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону

в равнобедренном треугольнике углы при основании равны

в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Если 3 стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

ТЕОРЕМЫ

внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

в треугольнике против большей стороны лежит больший угол( и наоборот).

каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30`.

свойства треугольника

Общая сумма всех его углов равняется 180º.

Если он принадлежит к равносторонним, то каждый его угол равен 60º.

Равносторонний треугольник имеет одинаковые и ровные между собой углы.

Чем меньше сторона многоугольника, тем меньший угол расположен напротив него и наоборот напротив большей стороны находиться больший угол.

Если стороны равные, то напротив них расположены равные углы, и наоборот.

Если взять треугольник и продлить его сторону, то в итоге мы образуется внешний угол. Он равен сумме внутренних углов.

В любом треугольнике его сторона, независимо от того, какую бы вы не выбрали, все равно будет меньше, чем сумма 2-х других сторон, но больше чем их разность:

ТРЕУГОЛЬНИК (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

ЦЕНТРОИД (ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА) - точка пересечения медиан.

Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2,
считая от основания медианы.

ОРТОЦЕНТР - точка пересечения трех высот треугольника.

h{c} = b sin a = a sin b

h{c}=ab/(2R),
h{a}=bc/(2R),
h{b}=ca/(2R).

окружность

вписанная

описанная

окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника

r=S \p,
где
S — площадь треугольника,
p — его полупериметр.

теорема синусов

R=abc/4S

1/r = 1/h{a}+1/h{b}+1/h{c}

2Rr=abc/a+b+c

признаки равенства прямоугольных треугольников

по катету и гипотенузе

по двум катетам

по катету и острому углу

по гипотенузе и острому углу

Против равных сторон лежат равные углы

каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон

R=a / 2sin a
R=b / 2 sin b
R=c / 2sin y

теорема косинусов

c^2=a^2+b^2-2ab cos y
b^2=a^2+c^2-2ac cos b
a^2=b^2+c^2-2bc cos a

Решение треугольников

Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных

используются общие тригонометрические теоремы, а также признаки равенства и подобия треугольников.

площадь треугольника

S ABC=1/2bh

так как
h{b}=a sin y,
то
S ABC=1/2 ab sin y

S ABC=abc/4R

S ABC=sqrt p(p-a)(p-b)(p-c)

S ABC=a^2 sin b sin у/2sin a

S ABC=2 R^2 sin a sin b sin у

для прямоугольного треугольника

S ABC=ab/2

для равностороннего треугольника

S=a^2 sqrt {3}/4

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА - отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.



Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

R=abc/4sqrt p(p-a)(p-b)(p-c)

Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).