3向量微積分@
基本觀念
純量場&向量場✏
流量&通量✏
敞開&封閉曲線✏
線積分
(純量場)體積分🖊
面積分
純量場
向量場
(曲線&直角坐標系)向量運算子(DEL算符) 🖊
兩個零等式🖊
保守場&螺旋場 🖊
梯度&旋度&散度 🖊
純量場🖊
向量場🖊
⭐The Gauss' Theorem(Divergence Theorem)
⭐The Stokes' Theorem(Curl Theorem)
⭐The Green's Theorem ✏
敞開曲線積分
封閉曲線積分
路徑好代入且容易積分 直接代入積分
路徑不好代入或不好積分 檢驗是否為保守場
路徑好代入且容易積分 直接代入積分
路徑不好代入或不好積分 檢驗C上 和 R中 有無奇點 & 是否為保守場
若無奇點且為保守場則直接用線積分基本定理 或
正圓路徑代入積分 答案為0(保守場封閉線積分)
若無奇點且不為保守場則用格林定理將封閉線積分轉成二重積分
若在R中有奇點(幾乎是原點) 且路徑積分複雜(需分多段) 且 不含奇點為保守場 則可開刀修改路徑之後再作封閉線積分(路徑變形)
⭐The F.T. of Line integral(Gradient Theorem)
雙變數純量場沿(二維)位置向量曲線C之積分
三變數純量場沿(三維)位置向量曲線C之積分
顯函數🖊
參數式🖊
參數式🖊
一般式
切線分量線積分稱為?✏
法線分量線積分稱為?✏
C為簡單封閉曲線稱為?✏
力(場)線積分稱為? ✏
定理敘述✏
定理快速推導🖊
參數(有向)微曲面面積🖊
逆時針環流量-旋度OR切線 型式 🖊
向外通量-散度OR法線 型式 🖊
路徑變形原理✏
(2D)區域面積計算✏
定理敘述🖊
定理敘述🖊
單&多連通區域✏
(柱座標)柱面🖊
(球座標)球面🖊
(直角坐標)函數曲面🖊
若是保守場 則直接用線積分基本定理 或 取起終點直線路徑代入積分
若在C上有奇點(幾乎是原點) 且不含奇點為保守場 則可開刀修改路徑之後再作封閉線積分(路徑變形)
若在R中有奇點(幾乎是原點)且路徑為正圓 則直接路徑代入積分