5. Lineární algebra II

Vlastní čísla a vl. vektory

Geometický význam

Inverzní matice

Vektorové podprostory

Vektorové báze

Afinní objekty

Afinní transformace

= množina lin. nezávislých vektorů z v. prostoru, pomocí nichž můžeme vyjádřit lib. vektor prostoru

vlastní číslo (λ)

A * u = λ * u

vlastní vektor (u) - přísluší λ

po aplikaci transformace A nemění směr

koeficient změny velikosti u

det (A - λE) = 0

(A - λE)*u = 0

čtvercová

A * A(^-1) = E (... ověření výpočtu)

regulární (invertibilní) = matice, k níž ex. inverzní

postup: A|E --> gauss --> E|A^(-1)

vektorový prostor

= množina uspoř. n-tic (vektorů)

uzavřený na sčítání a násobení

= nad polem skalárů K, množ., na které jsou def. operace: sčítání (asoc., kom., neutr., nul. prvek) a násobení (skaláry)

vektorový podprostor

neprázdná podmnožina v. prostoru, která je v. prostorem

součet všech = v. prostor

př.: 2 kolmé vektory, které prochází bodem [0,0] --> osy

díky její znalosti můžeme v daném prostoru vektory sestrojit

lin. obal báze = vektor. prostor (tedy min. množ. vektorů, jejímž obalem je V)

"množina os", dovoluje zavést souřadnice

standardní báze = jednotkové vektory {(e1), (e2),...}

lineární obal <X>

ortogonální = každé 2 vektory jsou kolmé (skal. souč. = 0)

ortonormální = ortogonální + velikost každého v. = 1

ortogonální = kolmé

skalární součin mezi VŠEMI vektory 0

Gramův-Schmidtův ortogon. proces --> nalezení ortonormální báze

každý vektor V lze vyjádřit jako lin. komb. báze (jednoznačně)

affiní prostor

sčítání bodů a vektorů

zobecnění euklidovského

def. úsečky, přímky, poměry velikostí úseček,..., polopřímky, rovnoběžníky

NE: vzdálenosti bodů, úhly vektorů

afinní geometrie

zná

uspořádání a spojitost

rovnoběžnost

nezná

shodnost

měření

incidenci

NEDEF: kružnice (vzdálenost), kolmice (shodnost)

euklidovská geometrie = afinní + axiomy shodnosti

euklidovský prostor = afinní pr. + skal. součin

konvexní množina

konvexní obal

přímka

parametrické vyjádření v rovině (x = a + u*t)

směrový vektor (B-A)

normálový vektor

kolmý na směrový

u = (-b, a)

obecná rce v rovině (ax + by + c = 0)

poloha 2 přímek v rovině

normálový vektor

z param. zbavením parametru

spec . případy

c = 0; a = 0; b = 0

vyjádření v prostoru

pouze parametricky (x = a + u*t)

rovnoběžné (žádný spol. bod)

různoběžné (1 spol. bod)

totožné (nek. spol. bodů)

poloha 2 přímek v prostoru

rovnoběžné (lin. závislé + NE spol. bod)

různoběžné (lin. NEzávislé + 1 spol. bod)

mimoběžné (lin. NEzávislé + NE spol. bod)

bod a přímka

leží na (rovnost po dosazení)

leží mimo (určují rovinu)

rovina

param. rce

v prostoru jednoznačně určují

přímka + bod

3 body neležící na 1 přímce

2 různé přímky (nesplývají, NE mimoběžné)

x = a + t*u + s*v

obecná rce

a*x + b*y + c*z + d = 0

speciální případy

d = 0, a/b/c = 0, a=b=0, a=c=0, b=c=0

poloha 2 rovin

rovnoběžné (lin. závislé směr./norm. vektory)

různoběžné (průsečnice)

NIKDY mimoběžné

posunutí (translace)

rotace

změna měřítka

skládání transformací

určeno vektorem posunutí p = (Xt, Yt)

vyjádřeny vztahem P' = P * A (bod * matice trans.)

aplikace na bod P --> P '

maticově

bodu P kolem počátku o orientovaný úhel α --> P '

souř.: X' = X cos α - Y sin α, Y ' = X sin α + Y cos α

souř.: X' = X + Xt, Y ' = Y + Yt

maticově

abs. hodnota koeficientu

X' = Sx*X, Y ' ´Sy * Y (S...koeficient změny měřítka ve směry dané osy)

z (0, 1) --> zmenšení

> 1 --> prodloužení ve směru osy

záporné znam. --> zmenšení v opačném směru

maticově

záleží na pořadí

lze vyjádřit 1 maticí --> postupné nás. matic (zprava: P' = P * A)

inverzní transformace

otočení o úhel α okolo boru R --> A = Am * Ar * Am^(-1)