5. Lineární algebra II
Vlastní čísla a vl. vektory
Geometický význam
Inverzní matice
Vektorové podprostory
Vektorové báze
Afinní objekty
Afinní transformace
= množina lin. nezávislých vektorů z v. prostoru, pomocí nichž můžeme vyjádřit lib. vektor prostoru
vlastní číslo (λ)
A *
u = λ *
u
vlastní vektor (u) - přísluší λ
po aplikaci transformace A nemění směr
koeficient změny velikosti u
det (A - λE) = 0
(A - λE)*
u = 0
čtvercová
A *
A(^-1) = E (... ověření výpočtu)
regulární (invertibilní) = matice, k níž ex. inverzní
postup: A|E --> gauss --> E|A^(-1)
vektorový prostor
= množina uspoř. n-tic (vektorů)
uzavřený na sčítání a násobení
= nad polem skalárů K, množ., na které jsou def. operace: sčítání (asoc., kom., neutr., nul. prvek) a násobení (skaláry)
vektorový podprostor
neprázdná podmnožina v. prostoru, která je v. prostorem
součet všech = v. prostor
př.: 2 kolmé vektory, které prochází bodem [0,0] --> osy
díky její znalosti můžeme v daném prostoru vektory sestrojit
lin. obal báze = vektor. prostor (tedy min. množ. vektorů, jejímž obalem je V)
"množina os", dovoluje zavést souřadnice
standardní báze = jednotkové vektory {(e1), (e2),...}
lineární obal <X>
ortogonální = každé 2 vektory jsou kolmé (skal. souč. = 0)
ortonormální = ortogonální + velikost každého v. = 1
ortogonální = kolmé
skalární součin mezi VŠEMI vektory 0
Gramův-Schmidtův ortogon. proces --> nalezení ortonormální báze
každý vektor V lze vyjádřit jako lin. komb. báze (jednoznačně)
affiní prostor
sčítání bodů a vektorů
zobecnění euklidovského
def. úsečky, přímky, poměry velikostí úseček,..., polopřímky, rovnoběžníky
NE: vzdálenosti bodů, úhly vektorů
afinní geometrie
zná
uspořádání a spojitost
rovnoběžnost
nezná
shodnost
měření
incidenci
NEDEF: kružnice (vzdálenost), kolmice (shodnost)
euklidovská geometrie = afinní + axiomy shodnosti
euklidovský prostor = afinní pr. + skal. součin
konvexní množina
konvexní obal
přímka
parametrické vyjádření v rovině (x = a + u*
t)
směrový vektor (B-A)
normálový vektor
kolmý na směrový
u = (-b, a)
obecná rce v rovině (ax + by + c = 0)
poloha 2 přímek v rovině
normálový vektor
z param. zbavením parametru
spec . případy
c = 0; a = 0; b = 0
vyjádření v prostoru
pouze parametricky (x = a + u*t)
rovnoběžné (žádný spol. bod)
různoběžné (1 spol. bod)
totožné (nek. spol. bodů)
poloha 2 přímek v prostoru
rovnoběžné (lin. závislé + NE spol. bod)
různoběžné (lin. NEzávislé + 1 spol. bod)
mimoběžné (lin. NEzávislé + NE spol. bod)
bod a přímka
leží na (rovnost po dosazení)
leží mimo (určují rovinu)
rovina
param. rce
v prostoru jednoznačně určují
přímka + bod
3 body neležící na 1 přímce
2 různé přímky (nesplývají, NE mimoběžné)
x = a + t*
u + s*v
obecná rce
a*
x + b*
y + c*z + d = 0
speciální případy
d = 0, a/b/c = 0, a=b=0, a=c=0, b=c=0
poloha 2 rovin
rovnoběžné (lin. závislé směr./norm. vektory)
různoběžné (průsečnice)
NIKDY mimoběžné
posunutí (translace)
rotace
změna měřítka
skládání transformací
určeno vektorem posunutí p = (Xt, Yt)
vyjádřeny vztahem P' = P *
A (bod *
matice trans.)
aplikace na bod P --> P '
maticově
bodu P kolem počátku o orientovaný úhel α --> P '
souř.: X' = X cos α - Y sin α, Y ' = X sin α + Y cos α
souř.: X' = X + Xt, Y ' = Y + Yt
maticově
abs. hodnota koeficientu
X' = Sx*
X, Y ' ´Sy * Y (S...koeficient změny měřítka ve směry dané osy)
z (0, 1) --> zmenšení
>
1 --> prodloužení ve směru osy
záporné znam. --> zmenšení v opačném směru
maticově
záleží na pořadí
lze vyjádřit 1 maticí --> postupné nás. matic (zprava: P' = P * A)
inverzní transformace
otočení o úhel α okolo boru R --> A = Am *
Ar *
Am^(-1)