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Transformaciones Lineales (D=P^-1AP (D=Matriz diagonal, A=Matriz asociada…
Transformaciones Lineales
DIAGONALIZAR UN OPERADOR LINEAL
Se obtiene la matriz asociada
M(T)
con el
operador lineal
T:V→V
en estudio. Dicha matriz se conoce como “A” y está referida a una misma
base (que por simplicidad es generalmente, la
base canónica).
Se determina la matriz
“ A − λI ”
, donde:
A=M(T)=Matriz asociada con el operador
lineal
I=Matriz identidad
λ=Raíz del polinomio característico
Al resolver la ecuación característica
det( A - λI) = 0
, se determinan los valores
característicos del operador lineal
T
.
Se obtiene el polinomio característico con:
det( A − λI)
.
Finalmente, cada espacio característico está
constituido por los vectores característicos.
Resolviendo el sistema homogéneo
( A − λI )v = 0
, se determinan los vectores
característicos v1, v2, ..., vn correspondientes a cada valor característico λ1, λ2,..., λn obtenido en el inciso anterior.
D=P^-1AP
D=Matriz diagonal
A=Matriz asociada al operador
P=Matriz diagonalizadora
Cuando la expresión anterior se cumple, se dice
que
A
es
“diagonalizable”
.
Una
“matriz diagonalizadora P”
, es aquella cuyas
columnas son los vectores característicos v1, que
constituyen un conjunto linealmente independiente que, además, es una
“base del espacio vectorial V”
al que se refiere el operador lineal
T:V→V
Ejemplo:
Para λ1=5
E(λ1)={(2y,y)|y∈R} Para λ2=-2
E(λ2)={(x,-3x)|x∈R}
Por lo que los valores propios son λ1=5 λ2=-2
P
