Transformaciones Lineales

DIAGONALIZAR UN OPERADOR LINEAL

  1. Se obtiene la matriz asociada M(T) con el
    operador lineal T:V→V en estudio. Dicha matriz se conoce como “A” y está referida a una misma
    base (que por simplicidad es generalmente, la
    base canónica).

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  1. Al resolver la ecuación característica
    det( A - λI) = 0, se determinan los valores
    característicos del operador lineal T.
  1. Se obtiene el polinomio característico con:
    det( A − λI).
  1. Finalmente, cada espacio característico está
    constituido por los vectores característicos.
  1. Resolviendo el sistema homogéneo
    ( A − λI )v = 0, se determinan los vectores
    característicos v1, v2, ..., vn correspondientes a cada valor característico λ1, λ2,..., λn obtenido en el inciso anterior.

D=P^-1AP

Cuando la expresión anterior se cumple, se dice
que A es “diagonalizable”.

Una “matriz diagonalizadora P”, es aquella cuyas
columnas son los vectores característicos v1, que
constituyen un conjunto linealmente independiente que, además, es una “base del espacio vectorial V” al que se refiere el operador lineal T:V→V

  1. Se determina la matriz “ A − λI ”, donde:

A=M(T)=Matriz asociada con el operador

lineal

I=Matriz identidad

λ=Raíz del polinomio característico

D=Matriz diagonal

A=Matriz asociada al operador

P=Matriz diagonalizadora

Ejemplo:

Para λ1=5 E(λ1)={(2y,y)|y∈R} Para λ2=-2 E(λ2)={(x,-3x)|x∈R}


Por lo que los valores propios son λ1=5 λ2=-2

P